将表达式 $\frac{50}{x^2}-\frac{2x^2}{81}$ 因式分解。

已知

给定的代数表达式为 $\frac{50}{x^2}-\frac{2x^2}{81}$。

要求

我们需要将表达式 $\frac{50}{x^2}-\frac{2x^2}{81}$ 因式分解。

解答

代数表达式的因式分解

代数表达式的因式分解是指将表达式写成两个或多个因式的乘积。因式分解是分配律的逆运算。

当一个代数表达式被写成质因数的乘积时，它就被完全因式分解了。

$\frac{50}{x^2}-\frac{2x^2}{81}$ 可以写成：

$\frac{50}{x^2}-\frac{2x^2}{81}=2(\frac{25}{x^2}-\frac{x^2}{81})$              (提取公因数 $2$)

$\frac{50}{x^2}-\frac{2x^2}{81}=2[(\frac{5}{x})^2-(\frac{x}{9})^2]$             [因为 $\frac{25}{x^2}=(\frac{5}{x})^2, \frac{x^2}{81}=(\frac{x}{9})^2$]

这里，我们可以观察到给定的表达式是两个平方差。因此，利用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我们可以对给定的表达式进行因式分解。

所以，

$\frac{50}{x^2}-\frac{2x^2}{81}=2[(\frac{5}{x})^2-(\frac{x}{9})^2]$

$\frac{50}{x^2}-\frac{2x^2}{81}=2(\frac{5}{x}+\frac{x}{9})(\frac{5}{x}-\frac{x}{9})$

因此，给定的表达式可以因式分解为 $2(\frac{5}{x}+\frac{x}{9})(\frac{5}{x}-\frac{x}{9})$。

Akhileshwar Nani

更新于: 2023年4月8日

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