找出两个分数之间的五个有理数。
(i) \( \frac{2}{3} \) 和 \( \frac{4}{5} \)
(ii) \( \frac{-3}{2} \) 和 \( \frac{5}{3} \)
(iii) \( \frac{1}{4} \) 和 \( \frac{1}{2} \)。

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要求： 

我们需要找出两个分数之间的五个有理数。

(i) \( \frac{2}{3} \) 和 \( \frac{4}{5} \)
(ii) \( \frac{-3}{2} \) 和 \( \frac{5}{3} \)
(iii) \( \frac{1}{4} \) 和 \( \frac{1}{2} \)。

解答： 

为了解答这个问题，首先，我们需要将它们转换成同分母分数。

(i) 分母(3和5)的最小公倍数是15。现在我们必须改变分数，使分母变成15。

为了转换成同分母分数，我们将$\frac{2}{3}$的分子和分母都乘以5。

$\frac{2}{3} \ =\ \frac{2}{3}\ \times\ \frac{5}{5}\ =\ \frac{10}{15}$

我们将$\frac{4}{5}$的分子和分母都乘以3。

$\frac{4}{5}\ =\ \frac{4}{5}\ \times\ \frac{3}{3}\ =\ \frac{12}{15}$

现在，我们的分数是$\frac{10}{15}$和$\frac{12}{15}$。

我们可以通过将它们乘以（5+1=6）来找到$\frac{10}{15}$和$\frac{12}{15}$之间的5个有理数。

$\frac{10}{15}\ \times\ \frac{6}{6}\ =\ \frac{60}{90}$

并且，

$\frac{12}{15}\ \times\ \frac{6}{6}\ =\ \frac{72}{90}$

因此，

$\frac{2}{3}$和$\frac{4}{5}$之间的五个有理数是：

$\frac{61}{90},\ \frac{62}{90},\ \frac{63}{90},\ \frac{64}{90}\ 和\ \frac{65}{90}$。

(ii) 分母(2和3)的最小公倍数是6。现在我们必须改变分数，使分母变成6。

为了转换成同分母分数，我们将$\frac{-3}{2}$的分子和分母都乘以3。

$\frac{-3}{2} \ =\ \frac{-3}{2}\ \times\ \frac{3}{3}\ =\ \frac{-9}{6}$

我们将$\frac{5}{3}$的分子和分母都乘以2。

$\frac{5}{3}\ =\ \frac{5}{3}\ \times\ \frac{2}{2}\ =\ \frac{10}{6}$

现在，我们的分数是$\frac{-9}{6}$和$\frac{10}{6}$。

我们可以找到$\frac{-9}{6}$和$\frac{10}{6}$之间的5个有理数。

因此，

$\frac{-3}{2}$和$\frac{5}{3}$之间的五个有理数是：

$\frac{-8}{6},\ \frac{-7}{6},\ \frac{-6}{6}=-1,\ \frac{-5}{6}\ 和\ \frac{-4}{6}$。

(iii) 分母(4和2)的最小公倍数是4。现在我们必须改变分数，使分母变成4。

为了转换成同分母分数，我们将$\frac{1}{2}$的分子和分母都乘以2。

$\frac{1}{2} \ =\ \frac{1}{2}\ \times\ \frac{2}{2}\ =\ \frac{2}{4}$

现在，我们的分数是$\frac{1}{4}$和$\frac{2}{4}$。

我们可以通过将它们乘以（5+1=6）来找到$\frac{1}{4}$和$\frac{2}{4}$之间的5个有理数。

$\frac{1}{4}\ \times\ \frac{6}{6}\ =\ \frac{6}{24}$

并且，

$\frac{2}{4}\ \times\ \frac{6}{6}\ =\ \frac{12}{24}$

因此，

$\frac{1}{4}$和$\frac{1}{2}$之间的五个有理数是：

$\frac{7}{24},\ \frac{8}{24},\ \frac{9}{24},\ \frac{10}{24}\ 和\ \frac{11}{24}$。