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法律研究求解下列方程的根
(i) \( x-\frac{1}{x}=3, x ≠ 0 \)
(ii) \( \frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}, x ≠ -4,7 \)
需要做的事情
我们需要求解给定方程的根。
解答
(i) \( x-\frac{1}{x}=3, x ≠ 0 \)
$\frac{x}{1}-\frac{1}{x}=3$
$\frac{x^{2}-1}{x}=3$
$x^{2}-1=3 x$
$x^{2}-3 x-1=0$
上述方程的形式为 $a x^{2}+b x+c=0$，其中 $a=1, b=-3$ 且 $c=-1$
判别式 $\mathrm{D}=b^{2}-4 a c$
$=(-3)^{2}-4 \times 1 \times(-1)$
$=9+4$
$=13$
设上述二次方程的根为 $\alpha$ 和 $\beta$
因此，
$\alpha=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{D}}}{2 a}$
$=\frac{-(-3)+\sqrt{13}}{2 \times 1}$
$=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$
$\beta=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{D}}}{2 a}$
$=\frac{-(-3)-\sqrt{13}}{2 \times 1}$
$=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$
因此，给定方程的根为 $\frac{3+\sqrt{13}}{2}, \frac{3-\sqrt{13}}{2}$
(ii) \( \frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}, x ≠ -4,7 \)
$\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}$
$\frac{x-7-(x+4)}{(x+4)(x-7)}=\frac{11}{30}$
$\frac{x-7-x-4}{x^{2}-7 x+4 x-28}=\frac{11}{30}$
$\frac{-11}{x^{2}-3 x-28}=\frac{11}{30}$
$\frac{-1}{x^{2}-3 x-28}=\frac{1}{30}$
$x^{2}-3 x-28+30=0$
$x^{2}-3 x+2=0$
上述方程的形式为 $a x^{2}+b x+c=0$，其中 $a=1, b=-3$ 且 $c=2$
判别式 $D =b^{2}-4 a c$
$=(-3)^{2}-4 \times 1 \times 2$
$=9-8$
$=1$
设上述二次方程的根为 $\alpha$ 和 $\beta$
因此，
$\alpha=\frac{-b+\sqrt{D}}{2 a}$
$=\frac{-(-3)+\sqrt{1}}{2 \times 1}$
$=\frac{3+1}{2}$
$=\frac{4}{2}$
$=2$
$\beta=\frac{-b-\sqrt{D}}{2 a}$
$=\frac{-(-3)-\sqrt{1}}{2 \times 1}$
$=\frac{3-1}{2}$
$=\frac{2}{2}$
$=1$
因此，给定方程的根为 $1$ 和 $2$。
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