如果 $2x + 3y = 14$ 且 $2x - 3y = 2$，求 $xy$ 的值。[提示：使用 $(2x+3y)^2 - (2x-3y)^2 = 24xy$]

已知

$2x + 3y = 14$ 且 $2x - 3y = 2$

求证

我们需要求得 $xy$ 的值。

解答

已知方程为 $2x + 3y = 14$ 且 $2x - 3y = 2$。这里，我们需要求得 $xy$ 的值。因此，我们可以利用恒等式 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 和 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，通过平方和减法的步骤来算得所需的值。

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.............(I)

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.............(II)

我们考虑：

$2x + 3y = 14$

两边平方，得到：

$(2x + 3y)^2 = (14)^2$

$(2x)^2+2(2x)(3y)+(3y)^2=196$            [根据 (I)]

$4x^2+12xy+9y^2=196$..........(III)

现在，

$2x - 3y = 2$

两边平方，得到：

$(2x - 3y)^2 = (2)^2$

$(2x)^2-2(2x)(3y)+(3y)^2=4$            [根据 (II)]

$4x^2-12xy+9y^2=4$..........(IV)

从 (III) 中减去 (IV)，得到：

$(4x^2+12xy+9y^2)-(4x^2-12xy+9y^2)=196-4$

$4x^2-4x^2+12xy+12xy+9y^2-9y^2=192$

$24xy=192$

$xy=\frac{192}{24}$

$xy=8$

因此，$xy$ 的值为 $8$。

Akhileshwar Nani

更新于： 2023 年 4 月 1 日

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