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法律研究如果 $x^2 + y^2 = 29$ 且 $xy = 2$，求下列各式的值：
(i) $x + y$
(ii) $x - y$
(iii) $x^4 + y^4$
已知
$x^2 + y^2 = 29$ 且 $xy = 2$
要求
我们要求出下列各式的值：
(i) $x + y$
(ii) $x - y$
(iii) $x^4 + y^4$
解答
已知表达式为 $x^2 + y^2 = 29$ 和 $xy = 2$。这里，我们要求出 (i) $x + y$ (ii) $x - y$ (iii) $x^4 + y^4 的值。因此，利用恒等式 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 和 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，我们可以求出所需的值。
$xy = 2$.........(I)
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.............(II)
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.............(III)
(i)
我们考虑：
$x^2 + y^2 = 29$
在等式两边都加上 $2xy$，得到：
$x^2+2xy+y^2=29+2xy$
$(x+y)^2=29+2(2)$ [利用 (II) 和 (I)]
$(x+y)^2=29+4$
$(x+y)^2=33$
在等式两边都开平方，得到：
$(x+y)=\pm\sqrt{33}$
$(x+y)$ 的值为 $\pm\sqrt{33}$。
(ii)
我们考虑：
$x^2 + y^2 = 29$
在等式两边都减去 $2xy$，得到：
$x^2-2xy+y^2=29-2xy$
$(x-y)^2=29-2(2)$ [利用 (III) 和 (I)]
$(x-y)^2=29-4$
$(x-y)^2=25$
在等式两边都开平方，得到：
$(x-y)=\sqrt{25}$
$x-y=\pm 5$
$x-y$ 的值为 $\pm 5$。
(iii)
我们考虑：
$x^2 + y^2 = 29$
在等式两边都平方，得到：
$(x^2 + y^2)^2 = (29)^2$
$x^4+2x^2y^2+y^4=841$
$x^4+2(xy)^2+y^4=841$ (因为 $a^mb^m=(ab)^m$)
$x^4+2(2)^2+y^4=841$ [利用 (I)]
$x^4+2(4)+y^4=841$
$x^4+8+y^4=841$
$x^4+y^4=841-8$ (将 $8$ 移到等式右边)
$x^4+y^4=833$
$x^4+y^4$ 的值为 $833$。
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