如果 $x^2 + y^2 = 29$ 且 $xy = 2$，求下列各式的值：
(i) $x + y$
(ii) $x - y$
(iii) $x^4 + y^4$

已知

$x^2 + y^2 = 29$ 且 $xy = 2$

要求

我们要求出下列各式的值：

(i) $x + y$

(ii) $x - y$

(iii) $x^4 + y^4$

解答

已知表达式为 $x^2 + y^2 = 29$ 和 $xy = 2$。这里，我们要求出 (i) $x + y$ (ii) $x - y$ (iii) $x^4 + y^4 的值。因此，利用恒等式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，我们可以求出所需的值。

$xy = 2$.........(I)

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.............(II)

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.............(III)

(i)

我们考虑：

$x^2 + y^2 = 29$

在等式两边都加上 $2xy$，得到：

$x^2+2xy+y^2=29+2xy$

$(x+y)^2=29+2(2)$                    [利用 (II) 和 (I)]

$(x+y)^2=29+4$

$(x+y)^2=33$

在等式两边都开平方，得到：

$(x+y)=\pm\sqrt{33}$

$(x+y)$ 的值为 $\pm\sqrt{33}$。

(ii)

我们考虑：

$x^2 + y^2 = 29$

在等式两边都减去 $2xy$，得到：

$x^2-2xy+y^2=29-2xy$

$(x-y)^2=29-2(2)$                    [利用 (III) 和 (I)]

$(x-y)^2=29-4$

$(x-y)^2=25$

在等式两边都开平方，得到：

$(x-y)=\sqrt{25}$

$x-y=\pm 5$

$x-y$ 的值为 $\pm 5$。

(iii)

我们考虑：

$x^2 + y^2 = 29$

在等式两边都平方，得到：

$(x^2 + y^2)^2 = (29)^2$

$x^4+2x^2y^2+y^4=841$

$x^4+2(xy)^2+y^4=841$                        (因为 $a^mb^m=(ab)^m$)

$x^4+2(2)^2+y^4=841$                          [利用 (I)]

$x^4+2(4)+y^4=841$

$x^4+8+y^4=841$

$x^4+y^4=841-8$                       (将 $8$ 移到等式右边)

$x^4+y^4=833$

$x^4+y^4$ 的值为 $833$。

Akhileshwar Nani

更新时间： 2023年4月1日

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