判断下列式子是否为等差数列的第 \( n^{\text {th }} \) 项。
\( 1+n+n^{2} \)

已知

$a_n = 1 + n + n^2$

任务

我们必须证明 $a_n = 1 + n + n^2$ 是否为等差数列的第 \( n^{\text {th }} \) 项。

解答

为了检查由 $a_n = 1 + n + n^2$ 定义的数列是否为等差数列，我们必须检查任何两个连续项之间的差是否相等。

让我们通过代入 $n=1, 2, 3....$ 来找到数列的前几项。

当 $n=1$ 时，

$a_1=1+1+(1)^2=3$

$=1+1+1$

$=3$

$a_2=1+2+(2)^2=7$

$=3+4$

$=7$

$a_3=1+3+(3)^2=13$

$=4+9$

$=13$

$a_4=1+4+(4)^2=21$

$=5+16$

$=21$

这里，

$a_2-a_1=7-3=4$

$a_3-a_2=13-7=6$

$d=a_4-a_3=21-13=8$

$a_2-a_1≠a_3-a_2≠a_4-a_3$

因此，给定的数列不是等差数列。  

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更新于: 2022年10月10日

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