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法律研究A、B 和 C 共同收割一块田地需要 $15\frac{3}{4}$ 天；B、C 和 D 共同收割需要 14 天；C、D 和 A 共同收割需要 18 天；D、A 和 B 共同收割需要 21 天。那么 A、B、C 和 D 四人共同收割这块田地需要多少天？
已知
A、B 和 C 三人共同收割田地所需时间 $=15\frac{3}{4}$ 天 $= \frac{63}{4}$ 天
B、C 和 D 三人共同收割田地所需时间 $= 14$ 天
C、D 和 A 三人共同收割田地所需时间 $= 18$ 天
D、A 和 B 三人共同收割田地所需时间 $= 21$ 天
要求
求 A、B、C 和 D 四人共同收割田地所需时间。
解答
A、B 和 C 三人一天完成的工作量 $=15\frac{3}{4}$ 天 $= \frac{63}{4}$ 天 ----(1)
B、C 和 D 三人一天完成的工作量 $= \frac{1}{14}$ -----(2)
C、D 和 A 三人一天完成的工作量 $= \frac{1}{18}$ ----(3)
D、A 和 B 三人一天完成的工作量 $= \frac{1}{21}$ -----(4)
将 (1)、(2)、(3) 和 (4) 式相加，得到：
A、B 和 C 三人一天完成的工作量 $+$ B、C 和 D 三人一天完成的工作量 $+$ C、D 和 A 三人一天完成的工作量 $+$ D、A 和 B 三人一天完成的工作量 $= \frac{4}{63} + \frac{1}{14} + \frac{1}{18} + \frac{1}{21}$
3(A、B、C 和 D 四人一天完成的工作量) $= \frac{4}{63} + \frac{(1\times9+1\times7+1\times6)}{126} = \frac{4}{63} + \frac{(9+7+6)}{126} = \frac{4}{63} + \frac{22}{126} = \frac{4}{63} + \frac{11}{63} = \frac{(4+11)}{63} = \frac{15}{63}$
A、B、C 和 D 四人一天完成的工作量 $= \frac{15}{63} \times \frac{1}{3} = \frac{5}{63}$
如果 A、B、C 和 D 四人共同收割田地所需时间为 $\frac{1}{\frac{5}{63}} 天 = \frac{63}{5} 天 = 12\frac{3}{5}$ 天。
因此，A、B、C 和 D 四人共同收割田地需要 $ 12\frac{3}{5}$ 天。
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