在 \( \triangle A B C, A D \perp B C \) 和 \( A D^{2}=B D . C D \)。证明 \( \angle B A C=90^o \)。
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已知
在△ABC中，AD垂直于BC且AD² = BD·DC。
要求
我们必须证明∠BAC = 90°。
解答
在直角三角形ADB和ADC中
使用勾股定理，我们得到：
AB² = AD² + BD²..............(i)
AC² = AD² + DC²............(ii)
从(i)和(ii)中，我们得到：
AB² + AC² = 2AD² + BD² + DC²
⇒ AB² + AC² = 2BD·CD + BD² + CD² [因为 AD² = BD·CD]
⇒ AB² + AC² = (BD + CD)²
⇒ AB² + AC² = BC² [因为 BC=BD+CD]
这意味着：
△ABC是一个以A为直角的直角三角形
⇒ ∠BAC = 90°
证毕。
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