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法律研究已知圆的直径为 \( AB \)，弦 \( AC \) 满足 \( \angle BAC=30^{\circ} \)，圆心为 \( O \)。过 \( C \) 点的切线交 \( AB \) 于点 \( D \)。求证：\( BC=BD \)。
已知
\( AB \) 是圆的直径，\( AC \) 是圆的弦，圆心为 \( O \)，且 \( \angle BAC=30^{\circ} \)。过 \( C \) 点的切线交 \( AB \) 于点 \( D \)。
要求
我们必须证明 \( BC=BD \)。
解答
连接 $BC$ 和 $OC$。
$\angle BAC = 30^o$
$\Rightarrow \angle BCD = 30^o$ (切线与弦所成的角等于弦在圆周上所对的圆周角)
$\angle ACD = \angle ACO + \angle OCD$
$\angle ACD = 30^o + 90^o = 120^o$ ($OC\ \perp\ CD$ 且 $OA = OC$，$\angle OAC = \angle OCA = 30^o$)
在 $\triangle ACD$ 中，
$\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^o$
$30^o + 120^o + \angle ADC = 180^o$
$\angle ADC = 180^o - (30^o + 120^o) = 30^o$
在 $\triangle BCD$ 中，
$\angle BCD = \angle BDC = 30^o$
$BC = BD$ (等角对等边)
证毕。
更新于: 2022年10月10日
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