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法律研究在直角三角形ABC中，∠B=90°，以AB为直径作圆，该圆与斜边AC相交于点P。证明该圆在P点的切线平分BC。
已知
在直角三角形ABC中，∠B=90°，以AB为直径作圆，该圆与斜边AC相交于点P。
要求
证明该圆在P点的切线平分BC。
解答
设O为已知圆的圆心。
设在P点的切线与BC相交于Q点。
连接BP。
∠ABC = 90° (圆上任意一点的切线垂直于经过该点的半径)
在△ABC中，
∠CAB + ∠BCA = 90° (角和性质和∠ABC = 90°)
∠BPQ = ∠BAC (切线与弦的夹角等于弦在另一弓形中所对的角)
∠BPQ + ∠BCA = 90° ……..(i)
∠APB = 90° (半圆中的圆周角)
∠BPQ + ∠CPQ = 90° …….(ii) (∠APB + ∠BPC = 180°，邻补角)
由公式(i)和(ii)，我们得到：
∠BPQ + ∠BCP = ∠BPQ + ∠CPQ
∠BCP = ∠CPQ
PQ = QC (等角对等边)
QP = QB (从圆内一点引出的两条切线相等)
QB = QC
证毕。
更新于：2022年10月10日
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