设 $A$ 为圆外一点，该圆的圆心为 $O$，半径为 $5 \mathrm{~cm}$，$A$ 与 $O$ 的距离为 $13 \mathrm{~cm}$。$AP$ 和 $AQ$ 为圆在 $P$ 和 $Q$ 点的切线。若在小弧 $PQ$ 上一点 $R$ 作切线 $BC$，与 $AP$ 交于 $B$ 点，与 $AQ$ 交于 $C$ 点，求三角形 $ABC$ 的周长。

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已知

$A$ 为圆外一点，该圆的圆心为 $O$，半径为 $5 \mathrm{~cm}$，$A$ 与 $O$ 的距离为 $13 \mathrm{~cm}$。$AP$ 和 $AQ$ 为圆在 $P$ 和 $Q$ 点的切线。

在小弧 $PQ$ 上一点 $R$ 作切线 $BC$，与 $AP$ 交于 $B$ 点，与 $AQ$ 交于 $C$ 点。

要求

求三角形 $ABC$ 的周长。

解题过程

$\angle OPA = 90^o$    (圆上一点的切线垂直于过该点的半径)

在直角三角形 $OPA$ 中，

$OA^2 = OP^2 + PA^2$    (勾股定理)

$(13)^2 = 5^2 + PA^2$

$PA^2 = 169-25$

$=144$

$=(12)^2$

$\Rightarrow PA = 12\ cm$

三角形 $ABC$ 的周长 $= AB + BC + CA$

$= (AB + BR) + (RC + CA)$

$= AB + BP + CQ + CA$   (因为 $BR = BP$ 和 $RC = CQ$，从圆内一点到圆的两条切线长度相等)

$= AP + AQ$ 

$= 2AP$        (从圆内一点到圆的两条切线长度相等)

$= 2 \times 12$

$= 24\ cm$

三角形 $ABC$ 的周长为 $24\ cm$。