从点\( P \)引出两条切线\( PA \)和\( PB \)与圆心为\( O \)的圆相切。如果\( OP \)等于圆的直径，证明\( \triangle APB \)是等边三角形。

已知

从点\( P \)引出两条切线\( PA \)和\( PB \)与圆心为\( O \)的圆相切。

\( OP \)等于圆的直径。

要求

我们必须证明\( \triangle APB \)是等边三角形。

解答

连接 $AB, OP, AQ, OA$。

设圆的半径为 $r$。

这意味着：

$OP = 2r$

$OQ + QP = 2r$

$OQ = QP = r$

在直角三角形 $OAP$ 中，

$OP$ 是斜边，$Q$ 是其中点。

$OA = AQ = OQ$ (直角三角形斜边中点到顶点的距离相等)

因此，

$\triangle OAQ$ 是等边三角形，$\angle AOQ = 60^o$。

在直角三角形 $OAP$ 中，

$\angle APO = 90^o - 60^o = 30^o$

$\angle APB = 2 \angle APO = 2 \times 30^o = 60^o$

$PA = PB$ (从同一点引出的圆的切线长度相等)

$\angle PAB = \angle PBA = 60^o$

这意味着：

$\triangle APB$ 是等边三角形。

证毕。

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更新于：2022年10月10日

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