已知三角形$P Q R$外接一个半径为$8 \mathrm{~cm}$的圆，$Q R$被切点$T$分成$Q T = 14 \mathrm{~cm}$和$T R = 16 \mathrm{~cm}$两段。如果$\Delta P Q R$的面积为$336 \mathrm{~cm}^{2}$，求边长$P Q$和$P R$。

已知

三角形$P Q R$外接一个半径为$8 \mathrm{~cm}$的圆，$Q R$被切点$T$分成$Q T = 14 \mathrm{~cm}$和$T R = 16 \mathrm{~cm}$两段。

$\Delta P Q R$的面积为$336 \mathrm{~cm}^{2}$。

要求：
求边长$P Q$和$P R$。
 解答

$\triangle PQR$ 外接圆心为 $O$，半径为 $8\ cm$。

$T$ 是切点，它将线段 $QR$ 分成两部分：

$QT = 14\ cm$ 和 $TR = 16\ cm$。

$\triangle PQR$ 的面积 $= 336\ cm^2$

设 $PS = x\ cm$

$QT$ 和 $QS$ 是从 $Q$ 引出的圆的切线。

$QS = QT = 14\ cm$

类似地，

$RU$ 和 $RT$ 是圆的切线

$RT = RU = 16\ cm$

$PS$ 和 $PU$ 是从 $P$ 引出的切线

$PS = PU = x\ cm$

$PQ = x + 14$，$PR = x + 16$，$QR = 14 + 16 = 30\ cm$

$\triangle PQR$ 的面积 = $\triangle POQ$ 的面积 + $\triangle QOR$ 的面积 + $\triangle POR$ 的面积

$\Rightarrow 336=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}) \times 8+\frac{1}{2}(14+x) \times 8+\frac{1}{2}(16+x) \times 8$

$\Rightarrow 336=\frac{1}{2} \times 30 \times 8+4(14+x)+4(16+x)$

$\Rightarrow 336=120+56+4 x+64+4 x$

$\Rightarrow 336=8 x+240$

$\Rightarrow 8 x=336-240$

$\Rightarrow 8x=96$

$\Rightarrow x=\frac{96}{8}=12$

因此，$\mathrm{PQ}=x+14=12+14=26 \mathrm{~cm}$

$\mathrm{PR}=x+16=12+16=28 \mathrm{~cm}$

边长$P Q$和$P R$分别为 $26\ cm$ 和 $28\ cm$。

教程点

更新于：2022年10月10日

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