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法律学在三角形\( P Q R \)中，\( N \)是\( P R \)上的一点，使得\( Q N \perp P R \)。如果\( P N \)\( N R=Q^{2} \)，证明\( \angle \mathrm{PQR}=90^{\circ} \)。
已知
在三角形\( P Q R \)中，\( N \)是\( P R \)上的一点，使得\( Q N \perp P R \)。
\( P N \)\( N R=Q^{2} \)
要求
我们需要证明\( \angle \mathrm{PQR}=90^{\circ} \)。
解答
$P N . N R=Q N^{2}$
$P N . N R=Q N . Q N$
这意味着，
$\frac{P N}{Q N}=\frac{Q N}{N R}$...........(i)
在$\triangle QNP$和$\triangle RNQ$中，
$\frac{P N}{Q N}=\frac{Q N}{N R}$
$\angle P N Q=\angle R N Q$
因此，根据 SAS 相似性，
$\angle Q N P \sim \angle R N Q$
这意味着，
$\angle P Q N=\angle Q R N$........(ii)
$\angle R Q N=\angle Q P N$........(iii)
将(ii)和(iii)相加，我们得到，
$\angle P Q N+\angle R Q N=\angle Q R N+\angle Q P N$
$\angle P Q R=\angle Q R N+\angle Q P N$
我们知道，
三角形内角和为\( 180^{\circ} \)。
在$\triangle P Q R$中，
$\angle P Q R+\angle Q P R+\angle Q R P=180^{\circ}$
$\angle P Q R+\angle Q P N+\angle Q R N=180^{\circ}$
$\angle P Q R+\angle P Q R=180^{\circ}$
$2 \angle P Q R=180^{\circ}$
$\angle P Q R=90^{\circ}$
证毕。
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