在三角形$P Q R$中，$N$是$P R$上的一点，使得$Q N \perp P R$。如果$P N$$N R=Q^{2}$，证明$\angle \mathrm{PQR}=90^{\circ}$。

已知

在三角形$P Q R$中，$N$是$P R$上的一点，使得$Q N \perp P R$。

$P N$$N R=Q^{2}$

要求

我们需要证明$\angle \mathrm{PQR}=90^{\circ}$。

解答

$P N . N R=Q N^{2}$

$P N . N R=Q N . Q N$

这意味着，

$\frac{P N}{Q N}=\frac{Q N}{N R}$...........(i)

在$\triangle QNP$和$\triangle RNQ$中，

$\frac{P N}{Q N}=\frac{Q N}{N R}$

$\angle P N Q=\angle R N Q$

因此，根据 SAS 相似性，

$\angle Q N P \sim \angle R N Q$

这意味着，

$\angle P Q N=\angle Q R N$........(ii)

$\angle R Q N=\angle Q P N$........(iii)

将(ii)和(iii)相加，我们得到，

$\angle P Q N+\angle R Q N=\angle Q R N+\angle Q P N$

$\angle P Q R=\angle Q R N+\angle Q P N$

我们知道，

三角形内角和为$180^{\circ}$。

在$\triangle P Q R$中， 

$\angle P Q R+\angle Q P R+\angle Q R P=180^{\circ}$

$\angle P Q R+\angle Q P N+\angle Q R N=180^{\circ}$

$\angle P Q R+\angle P Q R=180^{\circ}$

$2 \angle P Q R=180^{\circ}$

$\angle P Q R=90^{\circ}$

证毕。

教程点

更新于: 2022-10-10

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