在下图中，\( \mathrm{PQR} \) 是一个直角三角形，在 \( \mathrm{Q} \) 处成直角，且 \( \mathrm{QS} \perp \mathrm{PR} \)。如果 \( PQ=6 \mathrm{~cm} \) 且 \( PS=4 \mathrm{~cm} \)，求 \( QS, RS \) 和 \( QR \)。
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已知

\( \mathrm{PQR} \) 是一个直角三角形，在 \( \mathrm{Q} \) 处成直角，且 \( \mathrm{QS} \perp \mathrm{PR} \)。

\( PQ=6 \mathrm{~cm} \) 且 \( PS=4 \mathrm{~cm} \)。

要求

我们需要求出 \( QS, RS \) 和 \( QR \)。

解答

在 $\triangle S Q \mathrm{P}$ 和 $\triangle \mathrm{SRQ}$ 中，

$\angle P S Q =\angle R S Q=90^o$

$\angle S P Q =\angle S Q R=90^{\circ}-\angle R$

因此，根据 AA 相似性，

$\Delta S Q P  \sim \Delta S R Q$

这意味着，

$\frac{S Q}{P S}=\frac{S R}{SQ}$

$S Q^{2}=P S \times S R$.......(i)

在直角三角形 $P S Q$ 中，根据勾股定理，

$P Q^{2} =P S^{2}+Q S^{2}$

$(6)^{2}=(4)^{2}+Q S^{2}$

$36 =16+Q S^{2}$

$Q S^{2}=36-16$

$=20$

$QS=\sqrt{20}$

$=2 \sqrt{5} \mathrm{~cm}$ 将 $Q S$ 的值代入 (i) 中，我们得到，

$(2 \sqrt{5})^{2}=4 \times S R$

$S R =\frac{4 \times 5}{4}$

$=5 \mathrm{~cm}$

在直角三角形 $Q S R$ 中，

$Q R^{2} =Q S^{2}+S R^{2}$

$Q R^{2}=(2 \sqrt{5})^{2}+(5)^{2}$

$Q R^{2}=20+25$

$Q R=\sqrt{45}$

$=3 \sqrt{5} \mathrm{~cm}$

因此，$Q S=2 \sqrt{5} \mathrm{~cm}, R S=5 \mathrm{~cm}$ 和 $Q R=3 \sqrt{5} \mathrm{~cm}$

教程点

更新于： 2022 年 10 月 10 日

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