在下图中，\( \mathrm{ABC} \) 是一个直角三角形，其中 \( \mathrm{B} \) 为直角，且 \( \mathrm{BD} \perp \mathrm{AC} \)。如果 \( \mathrm{AD}=4 \mathrm{~cm} \)，而 \( C D=5 \mathrm{~cm} \)，求 \( B D \) 和 \( A B \)。
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已知

\( \mathrm{ABC} \) 是一个直角三角形，其中 \( \mathrm{B} \) 为直角，且 \( \mathrm{BD} \perp \mathrm{AC} \)。

\( \mathrm{AD}=4 \mathrm{~cm} \)，而 \( C D=5 \mathrm{~cm} \)

求解

我们需要求 \( B D \) 和 \( A B \)。

解答

在 $\Delta A D B$ 和 $\Delta C D B$ 中，

$\angle A D B =\angle C D B=90^o$

$\angle B A D =\angle D B C=90^o-\angle C$

因此，根据AA相似性，

$\Delta D B A \sim \Delta D C B$

这意味着，

$\frac{D B}{D A} =\frac{D C}{D B}$

$D B^{2} =D A \times D C $

$D B^{2} =4 \times 5$

$D B =2 \sqrt{5} \mathrm{~cm}$

在 $\triangle BDC$ 中，

$B C^{2} =B D^{2}+C D^{2}$

$B C^{2}=(2 \sqrt{5})^{2}+(5)^{2}$

$=20+25$

$=45$

$B C=\sqrt{45}$

$=3 \sqrt{5}$

$\Delta D B A \sim \Delta D C B$

这意味着，

$\frac{D B}{D C}=\frac{B A}{B C}$

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}=\frac{B A}{3 \sqrt{5}}$

$B A=\frac{2 \sqrt{5} \times 3 \sqrt{5}}{5}$

因此 $BD=2 \sqrt{5} \mathrm{~cm}$ 和 $BA=6 \mathrm{~cm}$。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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