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法律研究已知\( \mathrm{ABC} \) 是一个直角三角形，\( \mathrm{C} \) 为直角顶点。过斜边\( \mathrm{AB} \) 的中点\( \mathrm{M} \) 且平行于\( \mathrm{BC} \) 的直线交\( \mathrm{AC} \) 于\( \mathrm{D} \)。证明：
(i) \( \mathrm{D} \) 是\( \mathrm{AC} \) 的中点
(ii) \( \mathrm{MD} \perp \mathrm{AC} \)
(iii) \( \mathrm{CM}=\mathrm{MA}=\frac{1}{2} \mathrm{AB} \)
已知
\( \mathrm{ABC} \) 是一个直角三角形，\( \mathrm{C} \) 为直角顶点。过斜边\( \mathrm{AB} \) 的中点\( \mathrm{M} \) 且平行于\( \mathrm{BC} \) 的直线交\( \mathrm{AC} \) 于\( \mathrm{D} \)。
求证：
我们需要证明：
(i) \( \mathrm{D} \) 是\( \mathrm{AC} \) 的中点
(ii) \( \mathrm{MD} \perp \mathrm{AC} \)
(iii) \( \mathrm{CM}=\mathrm{MA}=\frac{1}{2} \mathrm{AB} \)
解答
\( \mathrm{ABC} \) 是一个直角三角形，\( \mathrm{C} \) 为直角顶点。
这意味着：
$\angle C=90^o$
$M$ 是斜边 $AB$ 的中点。
$DM \| BC$
(i) 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，
$\mathrm{BC} \| \mathrm{MD}$
$\mathrm{M}$ 是 $\mathrm{AB}$ 的中点。
因此，根据中点定理的逆定理，我们得到：
$D$ 是 $AC$ 的中点。
(ii) $MD \| B C$ 且 $C D$ 是横截线。
这意味着：
$\angle A D M=\angle A C B=90^{\circ}$ (同位角相等)
$\Rightarrow \mathrm{MD} \perp \mathrm{AC}$
(iii) 在 $\triangle A D M$ 和 $\triangle C D M$ 中，
$\mathrm{DM}=\mathrm{DM}$ (公共边)
$AD=C D$ ($D$ 是 $AC$ 的中点)
$\angle \mathrm{ADM}=\angle \mathrm{MDC} = 90^{\circ}$
因此，根据 SAS 全等定理，我们得到：
$\triangle \mathrm{ADM}=\triangle \mathrm{CDM}$
这意味着：
$\mathrm{CM}=\mathrm{AM}$ (全等三角形对应边相等)......(i)
$M$ 是 $AB$ 的中点。
$\mathrm{AM}=\mathrm{BM}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}$.......(ii)
由 (i) 和 (ii) 可得：
$\mathrm{CM}=\mathrm{AM}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}$
证毕。
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