在下图中，线段$\mathrm{DF}$与三角形$\mathrm{ABC}$的边$\mathrm{AC}$相交于点$\mathrm{E}$，使得$\mathrm{E}$是$\mathrm{CA}$的中点，并且$\angle \mathrm{AEF}=\angle \mathrm{AFE}$。证明$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{CE}}$
[提示：在$\mathrm{AB}$上取一点$\mathrm{G}$，使得$\mathrm{CG} \| \mathrm{DF}$。]
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已知

线段$\mathrm{DF}$与三角形$\mathrm{ABC}$的边$\mathrm{AC}$相交于点$\mathrm{E}$，使得$\mathrm{E}$是$\mathrm{CA}$的中点，并且$\angle \mathrm{AEF}=\angle \mathrm{AFE}$。

需要证明

我们需要证明$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{CE}}$

解答

在 $AB$ 上取一点 $G$，使得 $CG \| EF$。

$E$ 是 $CA$ 的中点

这意味着，

$CE=AE$..........(i)

在 $\triangle ACG$ 中，$CG \| EF$

$E$ 是 $CA$ 的中点。

这意味着，

$CE=GF$........(ii)

在 $\triangle BCG$ 和 $\triangle BDF$ 中，$CG \| EF$

根据基本比例定理，我们得到：
$\frac{BC}{CD}=\frac{BG}{GF}$

$\frac{BC}{CD}=\frac{BF-GF}{GF}$

$\frac{BC}{CD}=\frac{BF}{GF}-1$

$\frac{BC}{CD}+1=\frac{BF}{CE}$          [根据 (ii)]

$\frac{BC+CD}{CD}=\frac{BF}{CE}$

$\frac{BD}{CD}=\frac{BF}{CE}$

证毕。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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