在下图中，ABCD 是一个平行四边形，BC 延长到点 Q，使得 AD=CQ。如果 AQ 与 DC 相交于点 P，证明 ar(BPC) = ar(DPQ)。
[提示：连接 AC。]

已知

D 和 E 是 BC 上的两点，使得 BD=DE=EC。

要求

我们必须证明 ar(ABD)=ar(ADE)=ar(AEC)。

解答

在△ADP 和△QCP 中，

∠APD = ∠QPC (对顶角)

∠ADP = ∠QCP (内错角)

AD = CQ

因此，根据AAS全等，

△ADP ≅ △QCP

这意味着，

DP = CP (全等三角形对应边相等)

在△CDQ 中，

DP=CP

这意味着，

QP 是中线。

我们知道，

三角形的中线将其分成两个面积相等的区域。

这意味着，

ar(△DPQ) = ar(△QPC)...........(i)

AD = CQ (△ADP ≅ △QCP)

AD = BC (ABCD 是平行四边形)

这意味着，

BC = QC

在△PBQ 中，

BC=QC

PC 是中线。

这意味着，

ar(△QPC) = ar(△BPC)............(ii)

由 (i) 和 (ii)，我们得到，

ar(△BPC) = ar(△DPQ)

证毕。

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更新于：2022年10月10日

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