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法律研究如图所示，ABC 和 BDE 是两个等边三角形，且 D 是 BC 的中点。如果 AE 与 BC 相交于 F，证明：
(i) ar(BDE)=14ar(ABC)
(ii) ar(BDE)=12ar(BAE)
(iii) ar(ABC)=2 ar (BEC)
(iv) ar(BFE)=ar(AFD)
(v) ar(BFE)=2ar(FED)
(vi) ar(FED)=18ar(AFC)
[提示：连接 EC 和 AD。证明 BE‖AC 和 DE‖AB
已知
ABC 和 BDE 是两个等边三角形，且 D 是 BC 的中点。
AE 与 BC 相交
要求
我们需要证明：
(i) ar(BDE)=14ar(ABC)
(ii) ar(BDE)=12ar(BAE)
(iii) ar(ABC)=2 ar (BEC)
(iv) ar(BFE)=ar(AFD)
(v) ar(BFE)=2ar(FED)
(vi) ar(FED)=18ar(AFC)
解答
连接 EC 和 AD
设 G 和 H 分别是边 AB 和 AC 的中点。
连接 G 和 H。
GH 平行于 BC。
这意味着，根据中点定理，
GH=12BC
GH=BD=DC
类似地，
GD=AH=CH
DH=AG=BG
这意味着，
△ABC 被分成四个相等的等边三角形 △BGD,△AGH,△DHC 和 △GHD
因此，
△BGD=14△ABC
在 △BDG 和 △BDE 中
BG=BE
BD=BD
DG=DE
因此，根据 SSS 全等，
△BDG≅△BDE
这意味着，
ar(△BDG)=ar(△BDE)
ar(△BDE)=14ar(△ABC)
(ii)
△BDE 和 △AED 有公共底边 DE，且 DE‖AB
这意味着，
ar(△BDE)=ar(△AED)
ar(△BDE)−ar(△FED)=ar(△AED)−ar(△FED)
ar(△BEF)=ar(△AFD).......…(i)
ar(△ABD)=ar(△ABF)+ar(△AFD)
ar(△ABD)=ar(△ABF)+ar(△BEF) [由 (i) 得]
ar(△ABD)=ar(△ABE)........…(ii)
AD 是 △ABC 的中线。
这意味着，
ar(△ABD)=12ar(△ABC)
=4×[12ar(△BDE)]
= 2 ar(ΔBDE).......…(iii)
由 (ii) 和 (iii) 得，
2 ar (\triangle BDE) = ar (\triangle ABE)
ar (\triangle BDE) =\frac{1}{2} ar (\triangle BAE)
(iii) \triangle ABE 和 \triangle BEC 有公共底边 BE，且 BE \| AC
这意味着，
ar(\triangle ABE) = ar(\triangle BEC)
ar(\triangle ABF) + ar(\triangle BEF) = ar(\triangle BEC)
ar(\triangle ABF) + ar(\triangle AFD) = ar(\triangle BEC) [由 (i) 得]
ar(\triangle ABD) = ar(\triangle BEC)
\frac{1}{2}ar(\triangle ABC) = ar(\triangle BEC)
ar(\triangle ABC) = 2 ar(\triangle BEC)
(iv) \triangle BDE 和 \triangle AED 在同一底边 DE 上，且在平行线 DE 和 AB 之间。
这意味着，
ar (\triangle BDE) = ar (\triangle AED)
从两边减去 ar(\triangle FED)，得到：
ar (\triangle BDE)−ar (\triangle FED) = ar (\triangle AED)−ar (\triangle FED)
ar (\triangle BFE) = ar(\triangle AFD)
(v) 设 h 为 \triangle BDE 中从 E 到边 BD 的高，H 为 \triangle ABC 中从 A 到边 BC 的高。
ar (\triangle BDE) = \frac{1}{4}ar (\triangle ABC) (已证明)
ar (\triangle BFE) = ar (\triangle AFD) (已证明)
ar (\triangle BFE) = ar (\triangle AFD)
ar(\triangle BFE)= 2 ar (\triangle FED)
(vi) ar (\triangle AFC) = ar (\triangle AFD) + ar(\triangle ADC)
= 2 ar (\triangle FED) + \frac{1}{2}ar(\triangle ABC)
= 2 ar (\triangle FED) +\frac{1}{2}[4ar(\triangle BDE)]
= 2 ar (\triangle FED) +2 ar(\triangle BDE)
\triangle BDE 和 \triangle AED 在同一底边上，且在相同的平行线之间$
= 2 ar (\triangle FED) +2 ar (\triangle AED)
= 2 ar (\triangle FED) +2 [ar (\triangle AFD) +ar (\triangle FED)]
= 2 ar (\triangle FED) +2 ar (\triangle AFD) +2 ar (\triangle FED)
= 4 ar (\triangle FED) +4 ar (\triangle FED)
ar (\triangle AFC) = 8 ar (\triangle FED)
ar (\triangle FED) = \frac{1}{8}ar (\triangle AFC)
证毕。
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