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法律研究如图所示，\( \mathrm{ABC} \) 和 \( \mathrm{BDE} \) 是两个等边三角形，且 \( \mathrm{D} \) 是 \( \mathrm{BC} \) 的中点。如果 \( \mathrm{AE} \) 与 \( \mathrm{BC} \) 相交于 \( \mathrm{F} \)，证明：
(i) \( \operatorname{ar}(\mathrm{BDE})=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\mathrm{ABC}) \)
(ii) \( \operatorname{ar}(\mathrm{BDE})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\mathrm{BAE}) \)
(iii) \( \operatorname{ar}(\mathrm{ABC})=2 \) ar \( (\mathrm{BEC}) \)
(iv) \( \operatorname{ar}(\mathrm{BFE})=\operatorname{ar}(\mathrm{AFD}) \)
(v) \( \operatorname{ar}(\mathrm{BFE})=2 \operatorname{ar}(\mathrm{FED}) \)
(vi) \( \operatorname{ar}(\mathrm{FED})=\frac{1}{8} \operatorname{ar}(\mathrm{AFC}) \)
[提示：连接 \( \mathrm{EC} \) 和 \( \mathrm{AD} \)。证明 \( \mathrm{BE} \| \mathrm{AC} \) 和 \( \mathrm{DE} \| \mathrm{AB} \)
已知
\( \mathrm{ABC} \) 和 \( \mathrm{BDE} \) 是两个等边三角形，且 \( \mathrm{D} \) 是 \( \mathrm{BC} \) 的中点。
\( \mathrm{AE} \) 与 \( \mathrm{BC} \) 相交
要求
我们需要证明：
(i) \( \operatorname{ar}(\mathrm{BDE})=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\mathrm{ABC}) \)
(ii) \( \operatorname{ar}(\mathrm{BDE})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\mathrm{BAE}) \)
(iii) \( \operatorname{ar}(\mathrm{ABC})=2 \) ar \( (\mathrm{BEC}) \)
(iv) \( \operatorname{ar}(\mathrm{BFE})=\operatorname{ar}(\mathrm{AFD}) \)
(v) \( \operatorname{ar}(\mathrm{BFE})=2 \operatorname{ar}(\mathrm{FED}) \)
(vi) \( \operatorname{ar}(\mathrm{FED})=\frac{1}{8} \operatorname{ar}(\mathrm{AFC}) \)
解答
连接 \( \mathrm{EC} \) 和 \( \mathrm{AD} \)
设 $G$ 和 $H$ 分别是边 $AB$ 和 $AC$ 的中点。
连接 $G$ 和 $H$。
$GH$ 平行于 $BC$。
这意味着，根据中点定理，
$GH=\frac{1}{2}BC$
$GH=BD=DC$
类似地，
$GD = AH = CH$
$DH = AG = BG$
这意味着，
$\triangle ABC$ 被分成四个相等的等边三角形 $\triangle BGD, \triangle AGH, \triangle DHC$ 和 $\triangle GHD$
因此，
$\triangle BGD=\frac{1}{4}\triangle ABC$
在 $\triangle BDG$ 和 $\triangle BDE$ 中
$BG=BE$
$BD=BD$
$DG=DE$
因此，根据 SSS 全等，
$\triangle BDG \cong \triangle BDE$
这意味着，
$ar(\triangle BDG)=ar(\triangle BDE)$
$ar(\triangle BDE)=\frac{1}{4}ar(\triangle ABC)$
(ii)
$\triangle BDE$ 和 $\triangle AED$ 有公共底边 $DE$，且 $DE \| AB$
这意味着，
$ar(\triangle BDE) = ar(\triangle AED)$
$ar(\triangle BDE)−ar(\triangle FED) = ar(\triangle AED)−ar (\triangle FED)$
$ar(\triangle BEF) = ar(\triangle AFD)$.......…(i)
$ar(\triangle ABD) = ar(\triangle ABF)+ar(\triangle AFD)$
$ar(\triangle ABD) = ar(\triangle ABF)+ar(\triangle BEF)$ [由 (i) 得]
$ar(\triangle ABD) = ar(\triangle ABE)$........…(ii)
$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线。
这意味着，
$ar(\triangle ABD) =\frac{1}{2}ar (\triangle ABC)$
$= 4\times[\frac{1}{2}ar (\triangle BDE)]$
$= 2 ar(ΔBDE)$.......…(iii)
由 (ii) 和 (iii) 得，
$2 ar (\triangle BDE) = ar (\triangle ABE)$
$ar (\triangle BDE) =\frac{1}{2} ar (\triangle BAE)$
(iii) $\triangle ABE$ 和 $\triangle BEC$ 有公共底边 $BE$，且 $BE \| AC$
这意味着，
$ar(\triangle ABE) = ar(\triangle BEC)$
$ar(\triangle ABF) + ar(\triangle BEF) = ar(\triangle BEC)$
$ar(\triangle ABF) + ar(\triangle AFD) = ar(\triangle BEC)$ [由 (i) 得]
$ar(\triangle ABD) = ar(\triangle BEC)$
$\frac{1}{2}ar(\triangle ABC) = ar(\triangle BEC)$
$ar(\triangle ABC) = 2 ar(\triangle BEC)$
(iv) $\triangle BDE$ 和 $\triangle AED$ 在同一底边 $DE$ 上，且在平行线 $DE$ 和 $AB$ 之间。
这意味着，
$ar (\triangle BDE) = ar (\triangle AED)$
从两边减去 $ar(\triangle FED)$，得到：
$ar (\triangle BDE)−ar (\triangle FED) = ar (\triangle AED)−ar (\triangle FED)$
$ar (\triangle BFE) = ar(\triangle AFD)$
(v) 设 $h$ 为 $\triangle BDE$ 中从 $E$ 到边 $BD$ 的高，$H$ 为 $\triangle ABC$ 中从 $A$ 到边 $BC$ 的高。
$ar (\triangle BDE) = \frac{1}{4}ar (\triangle ABC)$ (已证明)
$ar (\triangle BFE) = ar (\triangle AFD)$ (已证明)
$ar (\triangle BFE) = ar (\triangle AFD)$
$ar(\triangle BFE)= 2 ar (\triangle FED)$
(vi) $ar (\triangle AFC) = ar (\triangle AFD) + ar(\triangle ADC)$
$= 2 ar (\triangle FED) + \frac{1}{2}ar(\triangle ABC)$
$= 2 ar (\triangle FED) +\frac{1}{2}[4ar(\triangle BDE)]$
$= 2 ar (\triangle FED) +2 ar(\triangle BDE)$
$\triangle BDE$ 和 $\triangle AED$ 在同一底边上，且在相同的平行线之间$
$= 2 ar (\triangle FED) +2 ar (\triangle AED)$
$= 2 ar (\triangle FED) +2 [ar (\triangle AFD) +ar (\triangle FED)]$
$= 2 ar (\triangle FED) +2 ar (\triangle AFD) +2 ar (\triangle FED)$
$= 4 ar (\triangle FED) +4 ar (\triangle FED)$
$ar (\triangle AFC) = 8 ar (\triangle FED)$
$ar (\triangle FED) = \frac{1}{8}ar (\triangle AFC)$
证毕。
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