如图所示，$\mathrm{ABC}$ 和 $\mathrm{BDE}$ 是两个等边三角形，且 $\mathrm{D}$ 是 $\mathrm{BC}$ 的中点。如果 $\mathrm{AE}$ 与 $\mathrm{BC}$ 相交于 $\mathrm{F}$，证明：
(i) $\operatorname{ar}(\mathrm{BDE})=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\mathrm{ABC})$
(ii) $\operatorname{ar}(\mathrm{BDE})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\mathrm{BAE})$
(iii) $\operatorname{ar}(\mathrm{ABC})=2$ ar $(\mathrm{BEC})$
(iv) $\operatorname{ar}(\mathrm{BFE})=\operatorname{ar}(\mathrm{AFD})$
(v) $\operatorname{ar}(\mathrm{BFE})=2 \operatorname{ar}(\mathrm{FED})$
(vi) $\operatorname{ar}(\mathrm{FED})=\frac{1}{8} \operatorname{ar}(\mathrm{AFC})$

[提示：连接 $\mathrm{EC}$ 和 $\mathrm{AD}$。证明 $\mathrm{BE} \| \mathrm{AC}$ 和 $\mathrm{DE} \| \mathrm{AB}$

已知

 $\mathrm{ABC}$ 和 $\mathrm{BDE}$ 是两个等边三角形，且 $\mathrm{D}$ 是 $\mathrm{BC}$ 的中点。

$\mathrm{AE}$ 与 $\mathrm{BC}$ 相交

要求

我们需要证明：

(i) $\operatorname{ar}(\mathrm{BDE})=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\mathrm{ABC})$
(ii) $\operatorname{ar}(\mathrm{BDE})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\mathrm{BAE})$
(iii) $\operatorname{ar}(\mathrm{ABC})=2$ ar $(\mathrm{BEC})$
(iv) $\operatorname{ar}(\mathrm{BFE})=\operatorname{ar}(\mathrm{AFD})$
(v) $\operatorname{ar}(\mathrm{BFE})=2 \operatorname{ar}(\mathrm{FED})$
(vi) $\operatorname{ar}(\mathrm{FED})=\frac{1}{8} \operatorname{ar}(\mathrm{AFC})$

解答

连接 $\mathrm{EC}$ 和 $\mathrm{AD}$

设 $G$ 和 $H$ 分别是边 $AB$ 和 $AC$ 的中点。

连接 $G$ 和 $H$。

$GH$ 平行于 $BC$。

这意味着，根据中点定理，

$GH=\frac{1}{2}BC$

$GH=BD=DC$

类似地，

$GD = AH = CH$

$DH = AG = BG$

这意味着，

$\triangle ABC$ 被分成四个相等的等边三角形 $\triangle BGD, \triangle AGH, \triangle DHC$ 和 $\triangle GHD$

因此，

$\triangle BGD=\frac{1}{4}\triangle ABC$

在 $\triangle BDG$ 和 $\triangle BDE$ 中

$BG=BE$

$BD=BD$

$DG=DE$

因此，根据 SSS 全等，

$\triangle BDG \cong \triangle BDE$

这意味着，

$ar(\triangle BDG)=ar(\triangle BDE)$

$ar(\triangle BDE)=\frac{1}{4}ar(\triangle ABC)$

(ii)

$\triangle BDE$ 和 $\triangle AED$ 有公共底边 $DE$，且 $DE \| AB$

这意味着，

$ar(\triangle BDE) = ar(\triangle AED)$

$ar(\triangle BDE)−ar(\triangle FED) = ar(\triangle AED)−ar (\triangle FED)$

$ar(\triangle BEF) = ar(\triangle AFD)$.......…(i)

$ar(\triangle ABD) = ar(\triangle ABF)+ar(\triangle AFD)$

$ar(\triangle ABD) = ar(\triangle ABF)+ar(\triangle BEF)$         [由 (i) 得]

$ar(\triangle ABD) = ar(\triangle ABE)$........…(ii)

$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线。

这意味着，

$ar(\triangle ABD) =\frac{1}{2}ar (\triangle ABC)$

$= 4\times[\frac{1}{2}ar (\triangle BDE)]$

$= 2 ar(ΔBDE)$.......…(iii)

由 (ii) 和 (iii) 得，

$2 ar (\triangle BDE) = ar (\triangle ABE)$

$ar (\triangle BDE) =\frac{1}{2} ar (\triangle BAE)$

(iii) $\triangle ABE$ 和 $\triangle BEC$ 有公共底边 $BE$，且 $BE \| AC$

这意味着，

$ar(\triangle ABE) = ar(\triangle BEC)$

$ar(\triangle ABF) + ar(\triangle BEF) = ar(\triangle BEC)$

$ar(\triangle ABF) + ar(\triangle AFD) = ar(\triangle BEC)$             [由 (i) 得]

$ar(\triangle ABD) = ar(\triangle BEC)$

$\frac{1}{2}ar(\triangle ABC) = ar(\triangle BEC)$

$ar(\triangle ABC) = 2 ar(\triangle BEC)$

(iv) $\triangle BDE$ 和 $\triangle AED$ 在同一底边 $DE$ 上，且在平行线 $DE$ 和 $AB$ 之间。

这意味着，

$ar (\triangle BDE) = ar (\triangle AED)$

从两边减去 $ar(\triangle FED)$，得到：

$ar (\triangle BDE)−ar (\triangle FED) = ar (\triangle AED)−ar (\triangle FED)$

$ar (\triangle BFE) = ar(\triangle AFD)$

(v) 设 $h$ 为 $\triangle BDE$ 中从 $E$ 到边 $BD$ 的高，$H$ 为 $\triangle ABC$ 中从 $A$ 到边 $BC$ 的高。

$ar (\triangle BDE) = \frac{1}{4}ar (\triangle ABC)$          (已证明)

$ar (\triangle BFE) = ar (\triangle AFD)$           (已证明)

$ar (\triangle BFE) = ar (\triangle AFD)$

$ar(\triangle BFE)= 2 ar (\triangle FED)$

(vi) $ar (\triangle AFC) = ar (\triangle AFD) + ar(\triangle ADC)$

$= 2 ar (\triangle FED) + \frac{1}{2}ar(\triangle ABC)$

$= 2 ar (\triangle FED) +\frac{1}{2}[4ar(\triangle BDE)]$

$= 2 ar (\triangle FED) +2 ar(\triangle BDE)$

$\triangle BDE$ 和 $\triangle AED$ 在同一底边上，且在相同的平行线之间$

$= 2 ar (\triangle FED) +2 ar (\triangle AED)$

$= 2 ar (\triangle FED) +2 [ar (\triangle AFD) +ar (\triangle FED)]$

$= 2 ar (\triangle FED) +2 ar (\triangle AFD) +2 ar (\triangle FED)$

$= 4 ar (\triangle FED) +4 ar (\triangle FED)$

$ar (\triangle AFC) = 8 ar (\triangle FED)$

$ar (\triangle FED) = \frac{1}{8}ar (\triangle AFC)$

证毕。

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更新于： 2022年10月10日

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