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法律研究在下图中，\( \mathrm{P} \) 是平行四边形 \( \mathrm{ABCD} \) 内部的一点。
(i) \( \operatorname{ar}(\mathrm{APB})+\operatorname{ar}(\mathrm{PCD})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\mathrm{ABCD}) \)
(ii) \( \operatorname{ar}(\mathrm{APD})+\operatorname{ar}(\mathrm{PBC})=\operatorname{ar}(\mathrm{APB})+\operatorname{ar}(\mathrm{PCD}) \)
[提示：过 \( \mathrm{P} \)，作一条平行于 \( \mathrm{AB} \) 的直线。]
"\n
已知
\( \mathrm{P} \) 是平行四边形 \( \mathrm{ABCD} \) 内部的一点。
要求
我们需要证明
(i) \( \operatorname{ar}(\mathrm{APB})+\operatorname{ar}(\mathrm{PCD})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\mathrm{ABCD}) \)
(ii) \( \operatorname{ar}(\mathrm{APD})+\operatorname{ar}(\mathrm{PBC})=\operatorname{ar}(\mathrm{APB})+\operatorname{ar}(\mathrm{PCD}) \)
解答
作两条直线 $EF$ 和 $GH$，分别平行于 $AB$ 和 $BC$。
(i) $\triangle APB$ 和平行四边形 $AEFB$ 共底 $AB$，且在同一对平行线 $AB$ 和 $EF$ 之间。
这意味着，
$ar (\triangle APB) = \frac{1}{2} ar (AEFB)$...….(i)
$\triangle DPC$ 和平行四边形 $EFCD$ 共底 $DC$，且在同一对平行线 $DC$ 和 $EF$ 之间。
这意味着，
$ar (\triangle DPC) = \frac{1}{2} ar (EFCD)$...….(ii)
将 (i) 和 (ii) 相加，得到：
$ar (\triangle APB)+ ar (\triangle DPC) = \frac{1}{2} ar (AEFB)+\frac{1}{2} ar (EFCD)$
$ar (\triangle APB)+ ar (\triangle DPC) = \frac{1}{2}( ar (AEFB)+ar (EFCD)$
$ar (\triangle APB)+ ar (\triangle DPC) = \frac{1}{2} ar (ABCD)$..........(iii)
(ii) $\triangle APD$ 和平行四边形 $AGHD$ 共底 $AD$，且在同一对平行线 $AD$ 和 $GH$ 之间。
这意味着，
$ar (\triangle APD) = \frac{1}{2} ar (AGHD)$...….(iv)
$\triangle PBC$ 和平行四边形 $GBCH$ 共底 $BC$，且在同一对平行线 $BC$ 和 $GH$ 之间。
这意味着，
$ar (\triangle PBC) = \frac{1}{2} ar (GBCH)$...….(v)
将 (iv) 和 (v) 相加，得到：
$ar (\triangle APD)+ ar (\triangle PBC) = \frac{1}{2} ar (AGHD)+\frac{1}{2} ar (GBCH)$
$ar (\triangle APD)+ ar (\triangle PBC) = \frac{1}{2}[ ar (AGHD)+ar (GBCH)]$
$ar (\triangle APD)+ ar (\triangle PBC) = \frac{1}{2} ar (ABCD)$............(vi)
(iii) 从 (iii) 和 (vi) 中，我们得到：
$ar (\triangle APB)+ ar (\triangle DPC) =ar (\triangle APD)+ ar (\triangle PBC)$
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