设\( P \)和\( Q \)分别是三角形\( \mathrm{ABC} \)的边\( \mathrm{AB} \)和\( \mathrm{BC} \)的中点，\( \mathrm{K} \)是\( \mathrm{AP} \)的中点
(i) \( \operatorname{ar}(\mathrm{PRQ})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\mathrm{ARC}) \)
(ii) ar \( (\mathrm{RQC})=\frac{3}{8} \) ar \( (\mathrm{ABC}) \)
(iii) ar \( (\mathrm{PBQ})=\operatorname{ar}(\mathrm{ARC}) \)

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已知

设\( P \)和\( Q \)分别是三角形\( \mathrm{ABC} \)的边\( \mathrm{AB} \)和\( \mathrm{BC} \)的中点，\( \mathrm{K} \)是\( \mathrm{AP} \)的中点

要求

我们需要证明：

(i) \( \operatorname{ar}(\mathrm{PRQ})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\mathrm{ARC}) \)
(ii) ar \( (\mathrm{RQC})=\frac{3}{8} \) ar \( (\mathrm{ABC}) \)
(iii) ar \( (\mathrm{PBQ})=\operatorname{ar}(\mathrm{ARC}) \)

解答

我们知道：

三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形。

\(PC\)是\(\triangle ABC\)的中线。

\(ar (\triangle BPC) = ar (\triangle APC)\)……….(i)

\(RC\)是\(\triangle APC\)的中线。

\(ar (\triangle ARC) = \frac{1}{2}ar (\triangle APC)\)……….(ii)

\(PQ\)是\(\triangle BPC\)的中线。

这意味着：

\(ar (\triangle PQC) = \frac{1}{2}ar (\triangle BPC)\)……….(iii)

由(i)和(iii)，我们得到：

\(ar (\triangle PQC) = \frac{1}{2} ar (\triangle APC)\)……….(iv)

由(ii)和(iv)，我们得到：

\(ar (\triangle PQC) = ar (\triangle ARC)\)……….(v)

\(P\)和\(Q\)分别是\(AB\)和\(BC\)的中点。

\(PQ \| AC\)

\(PA = \frac{1}{2}AC\)

在相同平行线之间的三角形面积相等。

这意味着：

\(ar (\triangle APQ) = ar (\triangle PQC)\)……….(vi)

由(v)和(vi)，我们得到：

\(ar (\triangle APQ) = ar (\triangle ARC)\)……….(vii)

\(R\)是\(AP\)的中点。

\(RQ\)是\(\triangle APQ\)的中线。

这意味着：

\(ar (\triangle PRQ) = \frac{1}{2}ar (\triangle APQ)\)……….(viii)

由(vii)和(viii)，我们得到：

\(ar (\triangle PRQ) = \frac{1}{2}ar (\triangle ARC)\)

(ii) \(PQ\)是\(\triangle BPC\)的中线

\(ar (\triangle PQC) = \frac{1}{2} ar (\triangle BPC)\)

\(= \frac{1}{2}\times[\frac{1}{2}ar (\triangle ABC)]\)

\(= \frac{1}{4}ar (\triangle ABC)\)……….(ix)

\(ar (\triangle PRC) = \frac{1}{2} ar (\triangle APC)\) [由(iv)]

\(ar (\triangle PRC) = \frac{1}{2}\times[\frac{1}{2}ar (\triangle ABC)]\)

\(= \frac{1}{4}ar (\triangle ABC)\)……….(x)

将(ix)和(x)相加，我们得到：

\(ar (\triangle PQC) + ar (\triangle PRC) =(\frac{1}{4}+\frac{1}{4})ar (\triangle ABC)\)

\(ar (PQCR) = \frac{1}{2} ar (\triangle ABC)\)……….(xi)

从两边减去\(ar(\triangle PRQ)\)，

\(ar (PQCR)-ar (\triangle PRQ) = \frac{1}{2}ar (\triangle ABC)-ar (\triangle PRQ)\)

\(ar (\triangle RQC) = \frac{1}{2}ar (\triangle ABC) - \frac{1}{2} ar (\triangle ARC)\) (已证)

\(ar (\triangle ARC) = \frac{1}{2} ar (\triangle ABC) -\frac{1}{2} \times [\frac{1}{2}ar (\triangle APC)]\)

\(ar (\triangle RQC) = \frac{1}{2}ar (\triangle ABC)-\frac{1}{4}ar (\triangle APC)\)

\(ar (\triangle RQC) = \frac{1}{2}ar (\triangle ABC)-\frac{1}{4} \times [\frac{1}{2}ar (\triangle ABC)]\) (因为\(PC\)是\(\triangle ABC\)的中线)

\(ar (\triangle RQC) = \frac{1}{2}ar (\triangle ABC)-\frac{1}{8}ar (\triangle ABC)\)

\(ar (\triangle RQC) = [(\frac{1}{2}-(\frac{1}{8})]ar (\triangle ABC)\)

\(ar (\triangle RQC) = \frac{3}{8}ar (\triangle ABC)\)

(iii) \(ar (\triangle PRQ) = \frac{1}{2}ar (\triangle ARC)\)

\(2ar (\triangle PRQ) = ar (\triangle ARC)\)……………..(xii)

\(ar (\triangle PRQ) = \frac{1}{2}ar (\triangle APQ)\) (\(RQ\)是\(APQ\)的中线)……….(xiii)

\(ar (\triangle APQ) = ar (\triangle PQC)\)

由(xiii)和(xiv)，我们得到：

\(ar (\triangle PRQ) = \frac{1}{2} ar (\triangle PQC)\)……….(xv)

\(ar (\triangle BPQ) = ar (\triangle PQC)\) (\(PQ\)是\(\triangle BPC\)的中线)……….(xvi)

由(xv)和(xvi)，我们得到：

\(ar (\triangle PRQ) =\frac{1}{2}ar (\triangle BPQ)\)……….(xvii)

由(xii)和(xvii)，我们得到：

\(2\times(\frac{1}{2})ar(\triangle BPQ)= ar (\triangle ARC)\)

\(ar (\triangle BPQ) = ar (\triangle ARC)\)

证毕。