在三角形$\mathrm{ABC}$中，$\mathrm{XY}$是一条平行于边$\mathrm{BC}$的直线。如果$\mathrm{BE} \| \mathrm{AC}$和$\mathrm{CF} \| \mathrm{AB}$分别与$\mathrm{XY}$交于$\mathrm{E}$和$F$，证明$\operatorname{ar}(\mathrm{ABE})=\operatorname{ar}(\mathrm{ACF})$。

已知

$\mathrm{XY}$是一条平行于三角形$\mathrm{ABC}$边$\mathrm{BC}$的直线。

$\mathrm{BE} \| \mathrm{AC}$和$\mathrm{CF} \| \mathrm{AB}$分别与$\mathrm{XY}$交于$\mathrm{E}$和$F$。

要求

我们需要证明$\operatorname{ar}(\mathrm{ABE})=\operatorname{ar}(\mathrm{ACF})$。

解答

$BE \| AC$

这意味着，

$BE \| CY$

$CF \| AB$

这意味着，

$CF \| XB$

$XY \| BC$ 且 $CY \| BE$

因此，

$EYCB$ 是一个平行四边形。

$\triangle \mathrm{ABE}$ 和平行四边形 $EYCB$ 共底 $BE$，且位于平行线 $BE$ 和 $AC$ 之间。

这意味着，

$ar(\triangle \mathrm{ABE})=\frac{1}{2} ar(\mathrm{EYCB})$........(i)

$C F \| A B$ 且 $X F \| B C$

这意味着，

$BCFX$ 是一个平行四边形。

$\triangle \mathrm{ACF}$ 和平行四边形 $BCFX$ 共底 $CF$，且位于平行线 $AB$ 和 $CF$ 之间。

因此，

$ar(\triangle \mathrm{ACF})=\frac{1}{2}ar(\mathrm{BCFX})$..........(ii)

平行四边形 $BCFX$ 和平行四边形 $BCYE$ 共底 $BC$，且

位于平行线 $\mathrm{BC}$ 和 $\mathrm{EF}$ 之间。

因此，

$\operatorname{ar}(\mathrm{BCFX})=\operatorname{ar}(BCYE)$..........(iii)

由 (i)、(ii) 和 (iii)，我们得到，

$\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ABE})=\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ACF})$

证毕。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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