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法律研究在三角形\( \mathrm{ABC} \)中，\( \mathrm{XY} \)是一条平行于边\( \mathrm{BC} \)的直线。如果\( \mathrm{BE} \| \mathrm{AC} \)和\( \mathrm{CF} \| \mathrm{AB} \)分别与\( \mathrm{XY} \)交于\( \mathrm{E} \)和\( F \)，证明\( \operatorname{ar}(\mathrm{ABE})=\operatorname{ar}(\mathrm{ACF}) \)。
已知
\( \mathrm{XY} \)是一条平行于三角形\( \mathrm{ABC} \)边\( \mathrm{BC} \)的直线。
\( \mathrm{BE} \| \mathrm{AC} \)和\( \mathrm{CF} \| \mathrm{AB} \)分别与\( \mathrm{XY} \)交于\( \mathrm{E} \)和\( F \)。
要求
我们需要证明\( \operatorname{ar}(\mathrm{ABE})=\operatorname{ar}(\mathrm{ACF}) \)。
解答
$BE \| AC$
这意味着，
$BE \| CY$
$CF \| AB$
这意味着，
$CF \| XB$
$XY \| BC$ 且 $CY \| BE$
因此，
$EYCB$ 是一个平行四边形。
$\triangle \mathrm{ABE}$ 和平行四边形 $EYCB$ 共底 $BE$，且位于平行线 $BE$ 和 $AC$ 之间。
这意味着，
$ar(\triangle \mathrm{ABE})=\frac{1}{2} ar(\mathrm{EYCB})$........(i)
$C F \| A B$ 且 $X F \| B C$
这意味着，
$BCFX$ 是一个平行四边形。
$\triangle \mathrm{ACF}$ 和平行四边形 $BCFX$ 共底 $CF$，且位于平行线 $AB$ 和 $CF$ 之间。
因此，
$ar(\triangle \mathrm{ACF})=\frac{1}{2}ar(\mathrm{BCFX})$..........(ii)
平行四边形 $BCFX$ 和平行四边形 $BCYE$ 共底 $BC$，且
位于平行线 $\mathrm{BC}$ 和 $\mathrm{EF}$ 之间。
因此，
$\operatorname{ar}(\mathrm{BCFX})=\operatorname{ar}(BCYE)$..........(iii)
由 (i)、(ii) 和 (iii)，我们得到，
$\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ABE})=\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ACF})$
证毕。
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