三角形\( \mathrm{ABC} \) 中，边\( \mathrm{AC} \) 和\( \mathrm{AB} \) 上的高\( \mathrm{BE} \) 和\( \mathrm{CF} \) 相等（见图 7.32）。证明：
(i) \( \triangle \mathrm{ABE} \cong \triangle \mathrm{ACF} \)
(ii) \( \mathrm{AB}=\mathrm{AC} \)，即\( \mathrm{ABC} \) 是等腰三角形。
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已知

$ABC$ 是一个三角形，其中 $BE$ 和 $CF$ 分别是边 $AC$ 和 $AB$ 上的高，且它们相等。

要求

我们需要证明：

(i) $\triangle ABE \cong \triangle ACF$

(ii) $AB=AC$，即 $ABC$ 是等腰三角形。

解答

(i) 我们知道：

如果一个三角形的两个角和一个不包含这两个角的边分别等于另一个三角形的两个角和一个不包含这两个角的边，则这两个三角形全等。

已知，$BE=CF$

我们有：

$\angle A$ 是 $\triangle AEB$ 和 $\triangle AFC$ 的公共角

$\angle AEB=\angle AFC$

因此，

$\triangle AEB \cong \triangle AFC$

我们还知道 

全等三角形对应边相等：如果两个三角形全等，则它们的所有对应边都必须相等。

因此，

$AB=AC$。

因此，$ABC$ 是等腰三角形。

教程点

更新时间： 2022年10月10日

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