一个三角形\( \mathrm{ABC} \)的两边\( \mathrm{AB} \)和\( \mathrm{BC} \)以及中线\( \mathrm{AM} \)分别等于另一个三角形\( \mathrm{PQR} \)的两边\( \mathrm{PQ} \)和\( \mathrm{QR} \)以及中线\( \mathrm{PN} \)。
(i) \( \triangle \mathrm{ABM} \equiv \triangle \mathrm{PQN} \)
(ii) \( \triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{PQR} \)
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已知

三角形 \(ABC\) 的两边 \(AB\) 和 \(BC\) 及中线 \(AM\) 分别等于三角形 \(PQR\) 的两边 \(PQ\) 和 \(QR\) 及中线 \(PN\)。

要求： 

我们需要证明

(i) $\triangle ABM \cong \triangle PQN$
(ii) $\triangle ABC \cong \triangle PQR$。

解答

(i) 已知，
 \(AM\) 是三角形 \(ABC\) 的中线，\(PN\) 是三角形 \(PQR\) 的中线。

这意味着，

$\frac{1}{2}BC=BM$ 和 $\frac{1}{2}QR=QN$

并且，$BC=QN$

这意味着，

$\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}QR$

因此，

$BM=QN$

我们知道，

根据边角边全等定理

如果两个三角形的一对对应边及其夹角相等，则这两个三角形全等。

在三角形 \(ABM\) 和三角形 \(PQN\) 中，

我们有，\(AM=PN\) 和 \(AB=PQ\)

我们也证明了 \(BM=QN\)

因此，

$\triangle ABM \cong \triangle PQN$。

(ii) 我们知道，

根据边角边全等定理

如果两个三角形的一对对应边及其夹角相等，则这两个三角形全等。

在三角形 \(ABC\) 和三角形 \(PQR\) 中，

我们有，\(AB=PQ\) 和 \(BC=QR\)

根据全等三角形对应角相等定理，我们知道，

全等三角形的对应部分相等：如果两个三角形全等，则它们的所有对应角和对应边都必须相等。

因此，

$\triangle ABC=\triangle PQR$。

因此，$\triangle ABC \cong \triangle PQR$。

教程点

更新于： 2022年10月10日

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