在平行四边形$\mathrm{ABCD}$中，在对角线$\mathrm{BD}$上取两点$\mathrm{P}$和$\mathrm{Q}$，使得$\mathrm{DP}=\mathrm{BQ}$
(i) $\triangle \mathrm{APD} \equiv \triangle \mathrm{CQB}$
(ii) $\mathrm{AP}=\mathrm{CQ}$
(iii) $\triangle \mathrm{AQB} \equiv \triangle \mathrm{CPD}$
(iv) $\mathrm{AQ}=\mathrm{CP}$
(v) $\mathrm{APCQ}$是平行四边形
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已知

在平行四边形$\mathrm{ABCD}$中，在对角线$\mathrm{BD}$上取两点$\mathrm{P}$和$\mathrm{Q}$，使得$\mathrm{DP}=\mathrm{BQ}$

要求

我们需要证明

(i) $\triangle \mathrm{APD} \equiv \triangle \mathrm{CQB}$

(ii) $\mathrm{AP}=\mathrm{CQ}$

(iii) $\triangle \mathrm{AQB} \equiv \triangle \mathrm{CPD}$

(iv) $\mathrm{AQ}=\mathrm{CP}$

(v) $\mathrm{APCQ}$是平行四边形

解答： 

(i) 在$\triangle APD$和$\triangle CQB$中，

$DP = BQ$         (已知)

$\angle ADP = \angle CBQ$            (内错角相等)

$AD = BC$     (平行四边形的对边相等)

因此，根据SAS全等，

$\triangle APD \cong \triangle CQB$

(ii) $\triangle APD \cong \triangle CQB$

这意味着，

$AP = CQ$   (全等三角形对应边相等)

(iii) 在$\triangle AQB$和$\triangle DPC$中，

$BQ = DP$           (已知)

$\angle ABQ = \angle CDP$         (内错角相等)

$AB = CD$         (平行四边形的对边相等)

因此，根据SAS全等，

$\triangle AQB \cong \triangle CPD$

(iv) $\triangle AQB \cong \triangle CPD$

这意味着，

$AQ = CP$                (全等三角形对应边相等)

(v) $AP = CQ$

$AQ = CP$

这意味着，

在四边形$APCQ$中，对边相等，对角相等。

因此，$APCQ$是平行四边形。

教程点

更新时间： 2022年10月10日

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