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法律研究在平行四边形\( \mathrm{ABCD} \)中，在对角线\( \mathrm{BD} \)上取两点\( \mathrm{P} \)和\( \mathrm{Q} \)，使得\( \mathrm{DP}=\mathrm{BQ} \)
(i) \( \triangle \mathrm{APD} \equiv \triangle \mathrm{CQB} \)
(ii) \( \mathrm{AP}=\mathrm{CQ} \)
(iii) \( \triangle \mathrm{AQB} \equiv \triangle \mathrm{CPD} \)
(iv) \( \mathrm{AQ}=\mathrm{CP} \)
(v) \( \mathrm{APCQ} \)是平行四边形
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已知
在平行四边形\( \mathrm{ABCD} \)中，在对角线\( \mathrm{BD} \)上取两点\( \mathrm{P} \)和\( \mathrm{Q} \)，使得\( \mathrm{DP}=\mathrm{BQ} \)
要求
我们需要证明
(i) \( \triangle \mathrm{APD} \equiv \triangle \mathrm{CQB} \)
(ii) \( \mathrm{AP}=\mathrm{CQ} \)
(iii) \( \triangle \mathrm{AQB} \equiv \triangle \mathrm{CPD} \)
(iv) \( \mathrm{AQ}=\mathrm{CP} \)
(v) \( \mathrm{APCQ} \)是平行四边形
解答：
(i) 在$\triangle APD$和$\triangle CQB$中，
$DP = BQ$ (已知)
$\angle ADP = \angle CBQ$ (内错角相等)
$AD = BC$ (平行四边形的对边相等)
因此，根据SAS全等，
$\triangle APD \cong \triangle CQB$
(ii) $\triangle APD \cong \triangle CQB$
这意味着，
$AP = CQ$ (全等三角形对应边相等)
(iii) 在$\triangle AQB$和$\triangle DPC$中，
$BQ = DP$ (已知)
$\angle ABQ = \angle CDP$ (内错角相等)
$AB = CD$ (平行四边形的对边相等)
因此，根据SAS全等，
$\triangle AQB \cong \triangle CPD$
(iv) $\triangle AQB \cong \triangle CPD$
这意味着，
$AQ = CP$ (全等三角形对应边相等)
(v) $AP = CQ$
$AQ = CP$
这意味着，
在四边形$APCQ$中，对边相等，对角相等。
因此，$APCQ$是平行四边形。
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