在直角三角形$\mathrm{ABC}$中，$\mathrm{C}$为直角，$\mathrm{M}$是斜边$\mathrm{AB}$的中点。$\mathrm{C}$与$\mathrm{M}$连接并延长到点$\mathrm{D}$，使得$\mathrm{DM}=\mathrm{CM}$。点$\mathrm{D}$与点$\mathrm{B}$连接（见图 7.23）。证明
(i) $\triangle \mathrm{AMC} \equiv \triangle \mathrm{BMD}$
(ii) $\angle \mathrm{DBC}$是直角。
(iii) $\triangle \mathrm{DBC} \equiv \triangle \mathrm{ACB}$
(iv) $\mathrm{CM}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}$
"

已知

在直角三角形 $ABC$ 中，$C$ 为直角，$M$ 是斜边 $AB$ 的中点。$C$ 与 $M$ 连接并延长到点 $D$，使得 $DM=CM$。点 $D$ 与点 $B$ 连接。

要求

我们需要证明给定的问题。

解答

(i) 考虑 $\triangle AMC$ 和 $\triangle BMD$，

我们知道，

根据边角边全等定理

如果两个三角形的一对对应边及其夹角相等，则这两个三角形全等。

已知，

$CM=DM$ 且

$M$ 是斜边 $AB$ 的中点

这意味着，

$AM=BM$

我们也知道，

对顶角总是相等的，

这意味着，

$\angle CMA=\angle DMB$

因此，

根据 SAS 全等，

$\triangle AMC \cong \triangle BMD$。

(ii) 我们也知道，

根据全等三角形的对应部分：如果两个三角形全等，则它们的对应角和对应边都必须相等。

这意味着，

$\angle ACM=\angle BDM$

我们知道，

如果内错角相等，则两条直线平行。

这意味着，

$AC \parallel BD$

我们也知道，内角和等于 $180^o$

这意味着，

$\angle ACB+\angle DBC=180^o$

$90^o+\angle DBC=180^o$    (已知，$\triangle ABC$ 在 $c$ 处为直角)

这意味着，

$\angle DBC=90^o$

(iii) 考虑 $\triangle DBC$ 和 $\triangle ACB$

我们知道，

根据边角边全等定理

如果两个三角形的一对对应边及其夹角相等，则这两个三角形全等。

$BC=CB$ (公共边)

由于 $\angle ACB$ 和 $DBC$ 互相垂直，我们得到，

$\angle ACB=\angle DBC$

我们也知道，

根据全等三角形的对应部分：如果两个三角形全等，则它们的对应边都必须相等。

因此，

$DB=AC$。

因此，

$\triangle DBC \cong ACB$。

(iv) 由于 $\triangle DBC \cong ACB$

我们得到，

$DM=AB$

我们还有 $M$ 作为中点 

这意味着，

$DM=CM=AM=BM$

因此，

$DM+CM=BM+AM$

$CM+CM=AB$

这意味着，

$CM=\frac{1}{2}AB$。

教程点

更新时间： 2022-10-10

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