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法律在直角三角形\( \mathrm{ABC} \)中，\( \mathrm{C} \)为直角，\( \mathrm{M} \)是斜边\( \mathrm{AB} \)的中点。\( \mathrm{C} \)与\( \mathrm{M} \)连接并延长到点\( \mathrm{D} \)，使得\( \mathrm{DM}=\mathrm{CM} \)。点\( \mathrm{D} \)与点\( \mathrm{B} \)连接（见图 7.23）。证明
(i) \( \triangle \mathrm{AMC} \equiv \triangle \mathrm{BMD} \)
(ii) \( \angle \mathrm{DBC} \)是直角。
(iii) \( \triangle \mathrm{DBC} \equiv \triangle \mathrm{ACB} \)
(iv) \( \mathrm{CM}=\frac{1}{2} \mathrm{AB} \)
"
已知
在直角三角形 $ABC$ 中，$C$ 为直角，$M$ 是斜边 $AB$ 的中点。$C$ 与 $M$ 连接并延长到点 $D$，使得 $DM=CM$。点 $D$ 与点 $B$ 连接。
要求
我们需要证明给定的问题。
解答
(i) 考虑 $\triangle AMC$ 和 $\triangle BMD$，
我们知道，
根据边角边全等定理
如果两个三角形的一对对应边及其夹角相等，则这两个三角形全等。
已知，
$CM=DM$ 且
$M$ 是斜边 $AB$ 的中点
这意味着，
$AM=BM$
我们也知道，
对顶角总是相等的，
这意味着，
$\angle CMA=\angle DMB$
因此，
根据 SAS 全等，
$\triangle AMC \cong \triangle BMD$。
(ii) 我们也知道，
根据全等三角形的对应部分：如果两个三角形全等，则它们的对应角和对应边都必须相等。
这意味着，
$\angle ACM=\angle BDM$
我们知道，
如果内错角相等，则两条直线平行。
这意味着，
$AC \parallel BD$
我们也知道，内角和等于 $180^o$
这意味着，
$\angle ACB+\angle DBC=180^o$
$90^o+\angle DBC=180^o$ (已知，$\triangle ABC$ 在 $c$ 处为直角)
这意味着，
$\angle DBC=90^o$
(iii) 考虑 $\triangle DBC$ 和 $\triangle ACB$
我们知道，
根据边角边全等定理
如果两个三角形的一对对应边及其夹角相等，则这两个三角形全等。
$BC=CB$ (公共边)
由于 $\angle ACB$ 和 $DBC$ 互相垂直，我们得到，
$\angle ACB=\angle DBC$
我们也知道，
根据全等三角形的对应部分：如果两个三角形全等，则它们的对应边都必须相等。
因此，
$DB=AC$。
因此，
$\triangle DBC \cong ACB$。
(iv) 由于 $\triangle DBC \cong ACB$
我们得到，
$DM=AB$
我们还有 $M$ 作为中点
这意味着，
$DM=CM=AM=BM$
因此，
$DM+CM=BM+AM$
$CM+CM=AB$
这意味着，
$CM=\frac{1}{2}AB$。
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