在直角三角形 ABC 中，∠C 为直角。M 是斜边 AB 的中点。连接 C 和 M，并延长到点 D，使得 DM=CM。连接点 D 和点 B。
(i) ∆AMC ≅ ∆BMD
(ii) ∠DBC 是直角
(iii) ∆DBC ≅ ∆ACB
(iv) CM=1/2AB
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已知

在直角三角形 ABC 中，∠C 为直角。M 是斜边 AB 的中点。连接 C 和 M，并延长到点 D，使得 DM=CM。连接点 D 和点 B。

要求

我们需要证明

(i) ∆AMC ≅ ∆BMD
(ii) ∠DBC 是直角
(iii) ∆DBC ≅ ∆ACB
(iv) CM=1/2AB

解答

∠ACB=90°

AM=BM

DM=CM

(i) 在∆AMC 和∆DMB 中，

AM=BM

CM=DM

∠AMC=∠BMD (对顶角)

因此，

∆AMC ≅ ∆DMB (根据 SAS 全等定理)

(ii) ∆AMC ≅ ∆DMB

这意味着，

∠ACM=∠BDM (CPCT)

∠ACM 和∠BDM 是直线 AC 和 BD 的内错角。

这意味着，

AC ∥ BD

∠ACB+∠DBC=180° (同旁内角互补)

90°+∠DBC=180°

∠DBC=180°-90°

∠DBC=90°

因此，∠DBC 是直角。

(iii) 在∆ACB 和∆DBC 中，

AC=DB (∆AMC ≅ ∆DMB，CPCT)

BC=BC (公共边)

∠ACB=∠DBC=90°

因此，

∆ACB ≅ ∆DBC (根据 SAS 全等定理)

(iv) ∆ACB ≅ ∆DBC

这意味着，

AB=DC (CPCT)

1/2AB=1/2DC....(i)

DM=CM=1/2DC....(ii)

从 (i) 和 (ii) 得，

CM=1/2AB

证毕。

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更新于： 2022-10-10

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