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法律研究在下图中，\( \mathrm{ABC} \) 是一个直角三角形，\( \mathrm{A} \) 为直角。\( \mathrm{BCED} \)、\( \mathrm{ACFG} \) 和 \( \mathrm{ABMN} \) 分别是边 \( \mathrm{BC} \)、\( \mathrm{CA} \) 和 \( \mathrm{AB} \) 上的正方形。线段 \( \mathrm{AX} \perp \mathrm{DE} \) 与 \( \mathrm{BC} \) 相交于 Y。证明
(i) \( \triangle \mathrm{MBC} \cong \triangle \mathrm{ABD} \)
(ii) \( \operatorname{ar}(\mathrm{BYXD})=2 \operatorname{ar}(\mathrm{MBC}) \)
(iii) \( \operatorname{ar}(\mathrm{BYXD})=\operatorname{ar}(\mathrm{ABMN}) \)
(iv) \( \triangle \mathrm{FCB} \cong \triangle \mathrm{ACE} \)
(v) \( \operatorname{ar}(\mathrm{CYXE})=2 \operatorname{ar}(\mathrm{FCB}) \)
(vi) \( \operatorname{ar}(\mathrm{CYXE})=\operatorname{ar}(\mathrm{ACFG}) \)
(vii) ar \( (\mathrm{BCED})=\operatorname{ar}(\mathrm{ABMN})+\operatorname{ar}(\mathrm{ACFG}) \)
已知
\( \mathrm{ABC} \) 是一个直角三角形，\( \mathrm{A} \) 为直角。\( \mathrm{BCED} \)、\( \mathrm{ACFG} \) 和 \( \mathrm{ABMN} \) 分别是边 \( \mathrm{BC} \)、\( \mathrm{CA} \) 和 \( \mathrm{AB} \) 上的正方形。线段 \( \mathrm{AX} \perp \mathrm{DE} \) 与 \( \mathrm{BC} \) 相交于 Y。
要求
我们必须证明
(i) \( \triangle \mathrm{MBC} \cong \triangle \mathrm{ABD} \)
(ii) \( \operatorname{ar}(\mathrm{BYXD})=2 \operatorname{ar}(\mathrm{MBC}) \)
(iii) \( \operatorname{ar}(\mathrm{BYXD})=\operatorname{ar}(\mathrm{ABMN}) \)
(iv) \( \triangle \mathrm{FCB} \cong \triangle \mathrm{ACE} \)
(v) \( \operatorname{ar}(\mathrm{CYXE})=2 \operatorname{ar}(\mathrm{FCB}) \)
(vi) \( \operatorname{ar}(\mathrm{CYXE})=\operatorname{ar}(\mathrm{ACFG}) \)
(vii) ar \( (\mathrm{BCED})=\operatorname{ar}(\mathrm{ABMN})+\operatorname{ar}(\mathrm{ACFG}) \)
解答
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle MBC$ 中，
$BC = BD$ (正方形的边相等)
$MB = AB$
$\angle MBC = 90^o + \angle ABC$
$= \angle DBC + \angle ABC$
$= \angle ABD$
因此，根据SAS全等，
$\triangle MBC \cong \triangle ABD$
(ii) $ar(\triangle MBC) = ar (\triangle ABD)$.......…(i)
$ar(\triangle ABD) = \frac{1}{2}ar (BYXD) …(ii) (因为 $\triangle ABD$ 和矩形 $BYXD$ 共底且在同一对平行线之间)
由 (i) 和 (ii) 可得，
$ar (\triangle MBC) = \frac{1}{2}ar (BYXD)$......(iii)
$ar (BYXD) = 2 ar (\triangle MBC)$
(iii) $ar (\triangle MBC) = \frac{1}{2} ar (ABMN)$…..(iv) (因为 $\triangle MBC$ 和正方形 $ABMN$ 共底 $MB$ 且在同一对平行线 $MB$ 和 $NC$ 之间)
由 (iii) 和 (iv) 可得，
$ar (BYXD) = ar (ABMN)$
(iv) 在 $\triangle ACE$ 和 $\triangle FCS$ 中，
$AC = FC$
$CE = BC$ (正方形的边)
$\angle FCB = 90^o + \angle ACB$
$= \angle BCE + \angle ACB$
$= \angle ACE$
因此，根据SAS全等，
$\triangle FCB \cong \triangle ACE$
(v) $ar(\triangle ACE) = ar(AFCB)$....…(vi)
$ar(\triangle ACE) = \frac{1}{2} ar(CVXE)$ (因为两者共底 $CE$ 且在同一对平行线 $CE$ 和 $AX$ 之间)
由 (vi) 和 (vii) 可得，
$ar (\triangle ACE) = \frac{1}{2} ar (CYXE)$
$= ar (\triangle FCB)$.....…(vii)
$ar (CYXE) = 2 ar (\triangle FCB)$
(vi) $ar(AFCB) = \frac{1}{2} ar (ACFG)$......…(ix) (因为两者共底 $CF$ 且在同一对平行线 $CF$ 和 $BG$ 之间)
由 (viii) 和 (ix) 可得，
$\frac{1}{2} ar (ACFG) = \frac{1}{2} ar (CYXE)$
$ar (ACFG) = ar (CYXE)$
(vii) $ar (BCED) = ar (BYXD) + ar (CYXE)$
$= ar (ABMN) + ar (ACFG)$ [由(iii) 和 (vi)]
证毕。
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