在下图中，$\mathrm{ABC}$ 是一个直角三角形，$\mathrm{A}$ 为直角。$\mathrm{BCED}$、$\mathrm{ACFG}$ 和 $\mathrm{ABMN}$ 分别是边 $\mathrm{BC}$、$\mathrm{CA}$ 和 $\mathrm{AB}$ 上的正方形。线段 $\mathrm{AX} \perp \mathrm{DE}$ 与 $\mathrm{BC}$ 相交于 Y。证明

(i) $\triangle \mathrm{MBC} \cong \triangle \mathrm{ABD}$
(ii) $\operatorname{ar}(\mathrm{BYXD})=2 \operatorname{ar}(\mathrm{MBC})$
(iii) $\operatorname{ar}(\mathrm{BYXD})=\operatorname{ar}(\mathrm{ABMN})$
(iv) $\triangle \mathrm{FCB} \cong \triangle \mathrm{ACE}$
(v) $\operatorname{ar}(\mathrm{CYXE})=2 \operatorname{ar}(\mathrm{FCB})$
(vi) $\operatorname{ar}(\mathrm{CYXE})=\operatorname{ar}(\mathrm{ACFG})$
(vii) ar $(\mathrm{BCED})=\operatorname{ar}(\mathrm{ABMN})+\operatorname{ar}(\mathrm{ACFG})$

已知

$\mathrm{ABC}$ 是一个直角三角形，$\mathrm{A}$ 为直角。$\mathrm{BCED}$、$\mathrm{ACFG}$ 和 $\mathrm{ABMN}$ 分别是边 $\mathrm{BC}$、$\mathrm{CA}$ 和 $\mathrm{AB}$ 上的正方形。线段 $\mathrm{AX} \perp \mathrm{DE}$ 与 $\mathrm{BC}$ 相交于 Y。

要求

我们必须证明

(i) $\triangle \mathrm{MBC} \cong \triangle \mathrm{ABD}$
(ii) $\operatorname{ar}(\mathrm{BYXD})=2 \operatorname{ar}(\mathrm{MBC})$
(iii) $\operatorname{ar}(\mathrm{BYXD})=\operatorname{ar}(\mathrm{ABMN})$
(iv) $\triangle \mathrm{FCB} \cong \triangle \mathrm{ACE}$
(v) $\operatorname{ar}(\mathrm{CYXE})=2 \operatorname{ar}(\mathrm{FCB})$
(vi) $\operatorname{ar}(\mathrm{CYXE})=\operatorname{ar}(\mathrm{ACFG})$
(vii) ar $(\mathrm{BCED})=\operatorname{ar}(\mathrm{ABMN})+\operatorname{ar}(\mathrm{ACFG})$

解答

在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle MBC$ 中，

$BC = BD$ (正方形的边相等)

$MB = AB$

$\angle MBC = 90^o + \angle ABC$

$= \angle DBC + \angle ABC$

$= \angle ABD$

因此，根据SAS全等，

$\triangle MBC \cong \triangle ABD$

(ii) $ar(\triangle MBC) = ar (\triangle ABD)$.......…(i)

$ar(\triangle ABD) = \frac{1}{2}ar (BYXD) …(ii) (因为$\triangle ABD$和矩形$BYXD$ 共底且在同一对平行线之间)

由 (i) 和 (ii) 可得，

$ar (\triangle MBC) = \frac{1}{2}ar (BYXD)$......(iii)

$ar (BYXD) = 2 ar (\triangle MBC)$

(iii) $ar (\triangle MBC) = \frac{1}{2} ar (ABMN)$…..(iv) (因为 $\triangle MBC$ 和正方形 $ABMN$ 共底 $MB$ 且在同一对平行线 $MB$ 和 $NC$ 之间)

由 (iii) 和 (iv) 可得，

$ar (BYXD) = ar (ABMN)$

(iv) 在 $\triangle ACE$ 和 $\triangle FCS$ 中，

$AC = FC$

$CE = BC$ (正方形的边)

$\angle FCB = 90^o + \angle ACB$

$= \angle BCE + \angle ACB$

$= \angle ACE$

因此，根据SAS全等，

$\triangle FCB \cong \triangle ACE$

(v) $ar(\triangle ACE) = ar(AFCB)$....…(vi)

$ar(\triangle ACE) = \frac{1}{2} ar(CVXE)$ (因为两者共底 $CE$ 且在同一对平行线 $CE$ 和 $AX$ 之间)

由 (vi) 和 (vii) 可得，

$ar (\triangle ACE) = \frac{1}{2} ar (CYXE)$

$= ar (\triangle FCB)$.....…(vii)

$ar (CYXE) = 2 ar (\triangle FCB)$

(vi) $ar(AFCB) = \frac{1}{2} ar (ACFG)$......…(ix) (因为两者共底 $CF$ 且在同一对平行线 $CF$ 和 $BG$ 之间)

由 (viii) 和 (ix) 可得，

$\frac{1}{2} ar (ACFG) = \frac{1}{2} ar (CYXE)$

$ar (ACFG) = ar (CYXE)$

(vii) $ar (BCED) = ar (BYXD) + ar (CYXE)$

$= ar (ABMN) + ar (ACFG)$ [由(iii) 和 (vi)]

证毕。

教程点

更新于：2022年10月10日

浏览量：59

开启你的职业生涯

完成课程获得认证

开始学习