已知$\mathrm{D}, \mathrm{E}$和$\mathrm{F}$分别是三角形$\triangle \mathrm{ABC}$的边$\mathrm{BC}, \mathrm{CA}$和$\mathrm{AB}$的中点。证明：
(i) BDEF是平行四边形。
(ii) $\operatorname{ar}(\mathrm{DEF})=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\mathrm{ABC})$
(iii) $\operatorname{ar}(\mathrm{BDEF})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\mathrm{ABC})$

已知

$\mathrm{D}, \mathrm{E}$和$\mathrm{F}$分别是三角形$\triangle \mathrm{ABC}$的边$\mathrm{BC}, \mathrm{CA}$和$\mathrm{AB}$的中点。

要求

我们需要证明：

(i) BDEF是平行四边形。
(ii) $\operatorname{ar}(\mathrm{DEF})=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\mathrm{ABC})$
(iii) $\operatorname{ar}(\mathrm{BDEF})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\mathrm{ABC})$

解答

在$\triangle ABC$中，

根据中点定理，

$EF \| BC$

$EF = \frac{1}{2}BC$

$BD = \frac{1}{2}BC$（$D$是$BC$的中点）

这意味着，

$BD = EF$

类似地，

$BF=DE$

$BF$和$DE$平行。

这里，

一对对边长度相等且互相平行。

因此，

$BDEF$是平行四边形。

(ii) 同样，我们可以证明$DCEF$和$AFDE$也是平行四边形。

平行四边形的对角线将其分成两个面积相等的三角形。

这意味着，

在平行四边形$BDEF$中，

$ar(\triangle BFD) = ar(\triangle DEF)$..........(i)

在平行四边形$DCEF$中

$ar(\triangle DCE) = ar(\triangle DEF)$..........(ii)

在平行四边形$AFDE$中，

$ar(\triangle AFE) = ar(\triangle DEF)$...........(iii)

由(i)、(ii)和(iii)，我们得到，

$ar(\triangle BFD) = ar(\triangle AFE) = ar(\triangle CDE) = ar(\triangle DEF)$

这意味着，

$ar(\triangle BFD) +ar(\triangle AFE) +ar(\triangle CDE) +ar(\triangle DEF) = ar(\triangle ABC)$

$4 ar(\triangle DEF) = ar(\triangle ABC)$

$ar(\triangle DEF) = \frac{1}{4}ar(\triangle ABC)$

(iii) 平行四边形$BDEF$的面积 = $ar(\triangle DEF) +ar(\triangle BDE)$

$ar(BDEF) = ar(\triangle DEF) +ar(\triangle DEF)$

$ar(BDEF) = 2\times ar(\triangle DEF)$

$ar(BDEF) = 2\times \frac{1}{4}ar(\triangle ABC)$

$ar(BDEF) = \frac{1}{2}ar(\triangle ABC)$

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更新于: 2022年10月10日

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