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法律研究已知\( \mathrm{D}, \mathrm{E} \)和\( \mathrm{F} \)分别是三角形\( \triangle \mathrm{ABC} \)的边\( \mathrm{BC}, \mathrm{CA} \)和\( \mathrm{AB} \)的中点。证明：
(i) BDEF是平行四边形。
(ii) \( \operatorname{ar}(\mathrm{DEF})=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\mathrm{ABC}) \)
(iii) \( \operatorname{ar}(\mathrm{BDEF})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\mathrm{ABC}) \)
已知
\( \mathrm{D}, \mathrm{E} \)和\( \mathrm{F} \)分别是三角形\( \triangle \mathrm{ABC} \)的边\( \mathrm{BC}, \mathrm{CA} \)和\( \mathrm{AB} \)的中点。
要求
我们需要证明：
(i) BDEF是平行四边形。
(ii) \( \operatorname{ar}(\mathrm{DEF})=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\mathrm{ABC}) \)
(iii) \( \operatorname{ar}(\mathrm{BDEF})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\mathrm{ABC}) \)
解答
在$\triangle ABC$中，
根据中点定理，
$EF \| BC$
$EF = \frac{1}{2}BC$
$BD = \frac{1}{2}BC$（$D$是$BC$的中点）
这意味着，
$BD = EF$
类似地，
$BF=DE$
$BF$和$DE$平行。
这里，
一对对边长度相等且互相平行。
因此，
$BDEF$是平行四边形。
(ii) 同样，我们可以证明$DCEF$和$AFDE$也是平行四边形。
平行四边形的对角线将其分成两个面积相等的三角形。
这意味着，
在平行四边形$BDEF$中，
$ar(\triangle BFD) = ar(\triangle DEF)$..........(i)
在平行四边形$DCEF$中
$ar(\triangle DCE) = ar(\triangle DEF)$..........(ii)
在平行四边形$AFDE$中，
$ar(\triangle AFE) = ar(\triangle DEF)$...........(iii)
由(i)、(ii)和(iii)，我们得到，
$ar(\triangle BFD) = ar(\triangle AFE) = ar(\triangle CDE) = ar(\triangle DEF)$
这意味着，
$ar(\triangle BFD) +ar(\triangle AFE) +ar(\triangle CDE) +ar(\triangle DEF) = ar(\triangle ABC)$
$4 ar(\triangle DEF) = ar(\triangle ABC)$
$ar(\triangle DEF) = \frac{1}{4}ar(\triangle ABC)$
(iii) 平行四边形$BDEF$的面积 = $ar(\triangle DEF) +ar(\triangle BDE)$
$ar(BDEF) = ar(\triangle DEF) +ar(\triangle DEF)$
$ar(BDEF) = 2\times ar(\triangle DEF)$
$ar(BDEF) = 2\times \frac{1}{4}ar(\triangle ABC)$
$ar(BDEF) = \frac{1}{2}ar(\triangle ABC)$
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