在三角形$\mathrm{ABC}$中，$\mathrm{E}$是中线AD的中点。证明$\operatorname{ar}(\mathrm{BED})=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\mathrm{ABC})$。

已知

在三角形$\mathrm{ABC}$中，$\mathrm{E}$是中线AD的中点。

要求

我们需要证明$\operatorname{ar}(\mathrm{BED})=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\mathrm{ABC})$。
 解答

我们知道，

中线将三角形分成两个面积相等的三角形。

这意味着，

$\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ABD})=\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ADC})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ABC})$............(i)

在$\triangle \mathrm{ABD}$中

$\mathrm{BE}$是中线。

这意味着，

$\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{BED})=\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{BAE})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ABD})$

$\Rightarrow \operatorname{ar}(\triangle \mathrm{BED})= \frac{1}{2}[\frac{1}{2}ar(\triangle \mathrm{ABC})]$       [由(i)得]

$\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{BED})=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ABC})$

证毕。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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