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法律研究在三角形\( \mathrm{ABC} \)中，\( \mathrm{E} \)是中线AD的中点。证明\( \operatorname{ar}(\mathrm{BED})=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\mathrm{ABC}) \)。
已知
在三角形\( \mathrm{ABC} \)中，\( \mathrm{E} \)是中线AD的中点。
要求
我们需要证明\( \operatorname{ar}(\mathrm{BED})=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\mathrm{ABC}) \)。
解答
我们知道，
中线将三角形分成两个面积相等的三角形。
这意味着，
$\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ABD})=\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ADC})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ABC})$............(i)
在$\triangle \mathrm{ABD}$中
$\mathrm{BE}$是中线。
这意味着，
$\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{BED})=\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{BAE})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ABD})$
$\Rightarrow \operatorname{ar}(\triangle \mathrm{BED})= \frac{1}{2}[\frac{1}{2}ar(\triangle \mathrm{ABC})]$ [由(i)得]
$\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{BED})=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ABC})$
证毕。
更新于: 2022年10月10日
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