如图所示，$ABC$ 和 $BDC$ 是两个等边三角形，其中 $D$ 是 $BC$ 的中点。$AE$ 与 $BC$ 相交于 $F$。
证明 $\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{BDE})=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABC})$。
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已知

$ABC$ 和 $BDC$ 是两个等边三角形，其中 $D$ 是 $BC$ 的中点。$AE$ 与 $BC$ 相交于 $F$。

要求

我们必须证明 $\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{BDE})=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ABC})$。

解答

设 $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=x$

这意味着，

$\mathrm{BD}=\frac{x}{2}$             ($\mathrm{D}$ 是 $\mathrm{BC}$ 的中点)

等边三角形 $\mathrm{ABC}$ 的面积 $=\frac{\sqrt{3}}{4}(\text { 边长 })^{2}$

$=\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2} \mathrm{~cm}^{2}$

等边三角形 $\mathrm{BED}$ 的面积 $=\frac{\sqrt{3}}{4}(\frac{x}{2})^{2}$

$=\frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{x^{2}}{4}$

$=\frac{1}{4}(\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2})$

$=\frac{1}{4}(\triangle \mathrm{ABC} 的面积)$

证毕。

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更新于: 2022年10月10日

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