如图所示，$ABC$ 和 $BDC$ 是两个等边三角形，其中 $D$ 是 $BC$ 的中点。$AE$ 与 $BC$ 相交于 $F$。
证明 \( \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{BDE})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{BAE}) \)。
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已知

$ABC$ 和 $BDC$ 是两个等边三角形，其中 $D$ 是 $BC$ 的中点。$AE$ 与 $BC$ 相交于 $F$。

要求

我们需要证明 \( \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{BDE})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{BAE}) \)。

解答

设 $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=x$

这意味着，

$\mathrm{BD}=\frac{x}{2}$             ($\mathrm{D}$ 是 $\mathrm{BC}$ 的中点)

$\triangle \mathrm{ABC}$ 和 $\triangle \mathrm{BED}$ 是等边三角形。

$\Rightarrow \angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{DBE}=60^{\circ}$

$\angle \mathrm{ACB}$ 和 $\angle \mathrm{DBE}$ 是内错角。

因此，

$\mathrm{AB} \| \mathrm{DE}$

$ar(\Delta \mathrm{BAE})=2 ar(\Delta \mathrm{BEC})$

$=2 \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{BDE})$          ($\mathrm{ED}$ 是 $\Delta \mathrm{EBC}$ 的中线)

$\Rightarrow \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{BDE})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{BAE})$

证毕。 

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更新于: 2022年10月10日

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