已知平行四边形$ABCD$，点$G$在$AB$上，且$AG = 2GB$；点$E$在$DC$上，且$CE = 2DE$；点$F$在$BC$上，且$BF = 2FC$。求证：$\operatorname{ar}(\mathrm{ADEG})=\operatorname{ar}(\mathrm{GBCE})$。

已知

$ABCD$是平行四边形，点$G$在$AB$上，且$AG = 2GB$；点$E$在$DC$上，且$CE = 2DE$；点$F$在$BC$上，且$BF = 2FC$。

求证

我们需要证明$\operatorname{ar}(\mathrm{ADEG})=\operatorname{ar}(\mathrm{GBCE})$。

解答

作$EP \perp AB$，$EQ \perp BC$

$AB=2GB$，$CE=2DE$，$BF=2FC$

这意味着：

$AB - GB = 2GB$

$CD - DE = 2DE$

$BC - FC = 2FC$

$AB = 3BG$，$CD = 3DE$

$BC = 3FC$

$GB = \frac{1}{3}AB$，$DE = \frac{1}{3}CD$，$FC = \frac{1}{3}BC$……(i)

$\operatorname{ar}(\mathrm{ADEG}) = \frac{1}{2}(AG + DE) \times EP$

$\operatorname{ar}(\mathrm{ADEG}) = \frac{1}{2}(\frac{2}{3}AB + \frac{1}{3}CD) \times EP$

$\Rightarrow \operatorname{ar}(\mathrm{ADEG}) = \frac{1}{2}(\frac{2}{3}AB + \frac{1}{3}AB) \times EP$

$\Rightarrow \operatorname{ar}(\mathrm{ADEG}) = \frac{1}{2} \times AB \times EP$……(ii)

$\operatorname{ar}(\mathrm{GBCE}) = \frac{1}{2}(GB + CE) \times EP$

$\Rightarrow \operatorname{ar}(\mathrm{GBCE}) = \frac{1}{2}[\frac{1}{3}AB + \frac{2}{3}CD] \times EP$

$\Rightarrow \operatorname{ar}(\mathrm{GBCE}) = \frac{1}{2}[\frac{1}{3}AB + \frac{2}{3}AB] \times EP$

$\Rightarrow \operatorname{ar}(\mathrm{GBCE}) = \frac{1}{2} \times AB \times EP$……(iii)

由(ii)和(iii)可得：

$\operatorname{ar}(\mathrm{ADEG}) = \operatorname{ar}(\mathrm{GBCE})$

证毕。

教程点

更新于：2022年10月10日

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