数据结构
网络
关系数据库管理系统 (RDBMS)
操作系统
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C语言编程
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理
化学
生物
数学
英语
经济学
心理学
社会研究
服装研究
法律研究已知平行四边形$ABCD$，点$G$在$AB$上，满足$AG = 2GB$；点$E$在$DC$上，满足$CE = 2DE$；点$F$在$BC$上，满足$BF = 2FC$。求$\triangle EFG$的面积占平行四边形面积的几分之几。
已知
$ABCD$是平行四边形，点$G$在$AB$上，满足$AG = 2GB$；点$E$在$DC$上，满足$CE = 2DE$；点$F$在$BC$上，满足$BF = 2FC$。
求解
我们需要求$\triangle EFG$的面积占平行四边形面积的几分之几。
解答
作$EP \perp AB$和$EQ \perp BC$
$AB=2GB, CE=2DE$且$BF=2FC$
这意味着：
$AB - GB = 2GB$
$CD - DE = 2DE$
$BC - FC = 2FC$
$AB = 3BG$，$CD = 3DE$
$BC = 3FC$
$GB = \frac{1}{3}AB$，$DE = \frac{1}{3}CD$，$FC = \frac{1}{3}BC$.........(i)
$\operatorname{ar}(\triangle EFG) = \operatorname{ar}(\text{梯形BGEC}) - \operatorname{ar}(\triangle BGF)$............(vii)
$=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}AB + \frac{2}{3}CD) \times EP$
$=\frac{1}{2}AB \times EP$
$=\frac{1}{2}\operatorname{ar}(\text{平行四边形ABCD})$
$\operatorname{ar}(\triangle EFC) = \frac{1}{9}\operatorname{ar}(\text{平行四边形ABCD})$
$\operatorname{ar}(\triangle BGF) = \frac{1}{2}BF \times GR$
$=\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}BC \times GR$
$=\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}BC \times GR$
$=\frac{2}{3} \times \operatorname{ar}(\triangle GBC)$
$=\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} GB \times EP$
$=\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}AB \times EP$
$=\frac{1}{9}AB \times EP$
$=\frac{1}{9}\operatorname{ar}(\text{平行四边形ABCD})$
$\operatorname{ar}(\triangle EFG) = \frac{1}{2}\operatorname{ar}(\text{平行四边形ABCD}) - \frac{1}{9}\operatorname{ar}(\text{平行四边形ABCD}) - \frac{1}{9}\operatorname{ar}(\text{平行四边形ABCD}) = \frac{5}{18}\operatorname{ar}(\text{平行四边形ABCD})$
49次浏览
