如果$\triangle ABC$的边$AB$上有一点$D$，使得$AD : DB = 3:2$，且$E$是$BC$上的一点，使得$DE\parallel AC$。求$\triangle ABC$和$\triangle BDE$面积的比值。

已知

$D$是$\triangle ABC$的边$AB$上的一点，使得$AD : DB = 3:2$，且$E$是$BC$上的一点，使得$DE\parallel AC$。

要求

我们要求$\triangle ABC$和$\triangle BDE$面积的比值。

解答

$\frac{AD}{DB}=\frac{3}{2}$

设$AD$为$3x$，$DB$为$2x$。这意味着，

$AB=AD+DB=3x+2x=5x$

在$\triangle BDE$和$\triangle BAC$中，

$\angle DBE=\angle ABC$   (公共角)

$\angle BDE=\angle BAC$   (同位角)

因此，

$\triangle BDE \sim\ \triangle BAC$   (根据角角相似)

我们知道，

如果两个三角形相似，则这两个三角形的面积之比等于它们对应边长之比的平方。

因此，

$\frac{ar(\triangle ABC)}{ar(\triangle BDE)}=\frac{(AB)^2}{(DB)^2}$

$=\frac{(5x)^2}{(2x)^2}$

$=\frac{25x^2}{4x^2}$

$=\frac{25}{4}$

$\triangle ABC$和$\triangle BDE$面积的比值为$25:4$。

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更新于: 2022年10月10日

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