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法律研究在$\triangle ABC$中，$P$点将边$AB$分成$AP:PB=1:2$的两段。$Q$是$AC$上一点，且$PQ \parallel BC$。求\( \Delta A P Q \)和梯形BPQC的面积之比。
已知
在$\triangle ABC$中，$P$点将边$AB$分成$AP:PB=1:2$的两段。$Q$是$AC$上一点，且$PQ \parallel BC$。
要求
我们要求\( \Delta A P Q \)和梯形BPQC的面积之比。
解答：
在$\triangle APQ$和 $\triangle ABC$中，
$\angle PAQ=\angle BAC$ (公共角)
$\angle APQ=\angle ABC$ (同位角)
因此，
$\triangle APQ \sim\ \triangle ABC$ (根据AA相似)
我们知道，
如果两个三角形相似，则这两个三角形的面积之比等于它们对应边长之比的平方。
这意味着，
$\frac{ar(\triangle APQ)}{ar(\triangle ABC)}=\frac{AP^2}{AB^2}$
$=\frac{AB^2}{(AP+BP)^2}$
$=\frac{1^2}{(1+2)^2}$
$=\frac{1}{9}$
因此，
$\frac{ar(\triangle APQ)}{ar(梯形\ BPQC)+ar(\triangle APQ)}=\frac{1}{9}$
$9(ar(\triangle APQ))=1(ar(梯形\ BPQC)+ar(\triangle APQ))$
$(9-1)(ar(\triangle APQ))=ar(梯形\ BPQC)$
$\frac{ar(\triangle APQ)}{ar(梯形\ BPQC)}=\frac{1}{8}$
因此，\( \Delta A P Q \)和梯形BPQC的面积之比为$1:8$。
更新于: 2022年10月10日
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