在$\triangle ABC$中，$P$点将边$AB$分成$AP:PB=1:2$的两段。$Q$是$AC$上一点，且$PQ \parallel BC$。求$\Delta A P Q$和梯形BPQC的面积之比。

已知

在$\triangle ABC$中，$P$点将边$AB$分成$AP:PB=1:2$的两段。$Q$是$AC$上一点，且$PQ \parallel BC$。

要求

我们要求$\Delta A P Q$和梯形BPQC的面积之比。

解答： 

在$\triangle APQ$和 $\triangle ABC$中，

$\angle PAQ=\angle BAC$   (公共角)

$\angle APQ=\angle ABC$   (同位角) 

因此，

$\triangle APQ \sim\ \triangle ABC$   (根据AA相似)

我们知道，

如果两个三角形相似，则这两个三角形的面积之比等于它们对应边长之比的平方。

这意味着，

$\frac{ar(\triangle APQ)}{ar(\triangle ABC)}=\frac{AP^2}{AB^2}$

$=\frac{AB^2}{(AP+BP)^2}$

$=\frac{1^2}{(1+2)^2}$

$=\frac{1}{9}$

因此，

$\frac{ar(\triangle APQ)}{ar(梯形\ BPQC)+ar(\triangle APQ)}=\frac{1}{9}$

$9(ar(\triangle APQ))=1(ar(梯形\ BPQC)+ar(\triangle APQ))$

$(9-1)(ar(\triangle APQ))=ar(梯形\ BPQC)$

$\frac{ar(\triangle APQ)}{ar(梯形\ BPQC)}=\frac{1}{8}$

因此，$\Delta A P Q$和梯形BPQC的面积之比为$1:8$。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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