在等腰三角形ABC中，底边AB向两端延长到P和Q，使得AP × BQ = AC²。证明△APC ∽ △BCQ。

已知

在等腰三角形ABC中，底边AB向两端延长到P和Q，使得AP × BQ = AC²。

要求

我们必须证明△APC ∽ △BCQ。

解答

AC=BC 且 AP × BQ = AC²。

AP × BQ = AC × AC

AP × BQ = AC × BC AP/AC = BC/BQ ……(i)

在△ABC中

∠CAB = ∠CBA ……(ii) （等边对等角）

∠CAB + ∠CAP = 180° ……(iii) （线性对）

∠CBA + ∠CBQ = 180° ……(iv) （线性对）

由(ii)、(iii)和(iv)，我们有：

∠CAP = ∠CBQ ……(v)

在△APC和△BCQ中，由(i)和(v)，

∠CAP = ∠CBQ

AP/AC = BC/BQ

这意味着：

△APC ∽ △BCQ。 （根据SAS相似性）

证毕。

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更新于：2022年10月10日

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