在$\triangle ABC$中，如果$L$和$M$分别是$AB$和$AC$上的点，使得$LM \| BC$。
证明$ar(\triangle ABM) = ar(\triangle ACL)$。

已知

在$\triangle ABC$中，$L$和$M$分别是$AB$和$AC$上的点，使得$LM \| BC$。

要求

我们必须证明$ar(\triangle ABM) = ar(\triangle ACL)$。

解答

连接$LM, LC$和$MB$。

$L$和$M$分别是$AB$和$AC$的中点。

这意味着，

$LM \| BC$

$\triangle LBM$和$\triangle LCM$同底$LM$，且在同一对平行线之间。

因此，

$ar(\triangle LBM) = ar(\triangle LCM)$......…(i)

$ar(\triangle LCM) = ar(\triangle LBM)$

$\triangle LBC$和$\triangle MBC$同底$BC$，且在同一对平行线之间。

因此，

$ar(\triangle LBC) = ar(\triangle MBC)$......…(ii)

$ar(\triangle LMB) = ar(\triangle LMC)$              [由(i)]

$ar(\triangle ALM) + ar(\triangle LMB) = ar(\triangle ALM) + ar(\triangle LMC)$                 [两边加上$ar(\triangle ALM)$]

$ar(\triangle ABM) = ar(\triangle ACL)$

证毕。

教程点

更新时间: 2022年10月10日

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