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法律研究在$\triangle ABC$中，$P$和$Q$分别是$AB$和$BC$的中点，$R$是$AP$的中点。证明\( \operatorname{ar}(\mathrm{PRQ})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ARC}) \)。
已知
在$\triangle ABC$中，$P$和$Q$分别是$AB$和$BC$的中点，$R$是$AP$的中点。
要做的事情
我们需要证明\( \operatorname{ar}(\mathrm{PRQ})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ARC}) \)。
解答
连接$AQ$和$PC$。
$\mathrm{R}$是$AP$的中点。
这意味着，
$\mathrm{CR}$是$\triangle \mathrm{APC}$的中线
$\therefore \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{CRA})=\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{CRP})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ACP})$.........(i)
类似地，
$CP$是$\triangle \mathrm{ABC}$的中线
$\therefore \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{CAP})=\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{CPB})$.......(ii) ($\mathrm{P}$是中点)
由(i)和(ii)可得，
$ar(\Delta \mathrm{ACR})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{CPB})$.......(iii)
$\mathrm{PQ}$是$\triangle \mathrm{PBC}$的中线，
$\therefore a r(\Delta \mathrm{CPB})=2 \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{PBQ})$...........(iv)
由(iii)和(iv)可得，
$\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ARC})=\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{PBQ})$......(v)
$\mathrm{QP}$和$\mathrm{QR}$分别是$\triangle \mathrm{QAB}$和$\Delta QAP$的中线。
这意味着，
$\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{QAP})=\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{QBP})$..........(vi)
$\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{QAP})=2 a r(\Delta \mathrm{QPR})$......(vii)
由(vi)和(vii)
$\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{PRQ})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{PBQ})$
由(v)和(viii)可得，
$\operatorname{ar}(\Delta \mathrm{PRQ})=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta \mathrm{ARC})$
证毕。
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