如果E、F、G和H分别是平行四边形ABCD各边的中点，证明ar(EFGH) = 1/2 ar(ABCD)

已知

E、F、G和H分别是平行四边形ABCD各边的中点。

要求

我们需要证明ar(EFGH) = 1/2 ar(ABCD)。

解答


连接EF、FG、GH、HE和FH。

我们知道：

平行四边形的对边相等且平行。

这意味着：

AD ∥ BC

AD = BC

⇒ 1/2 AD = 1/2 BC

AH ∥ BF

DH ∥ CF

⇒ AH = BF

DH = CF

H和F是中点

因此，ABFH和HFCD是平行四边形。

△EFH和平行四边形ABFH都位于同一条底边FH上，并且在同两条平行线AB和HF之间。

这意味着：

△EFH的面积 = 1/2 × ABFH的面积……(i)

△GHF的面积 = 1/2 × HFCD的面积……(ii)

将(i)和(ii)相加，我们得到：

△EFH的面积 + △GHF的面积 = 1/2 × ABFH的面积 + 1/2 × HFCD的面积

EFGH的面积 = ABFH的面积

因此：

ar(EFGH) = 1/2 ar(ABCD)

更新于：2022年10月10日

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