在下图中，ar \( (\mathrm{DRC})= \) ar \( (\mathrm{DPC}) \) 且 ar \( (\mathrm{BDP})=\operatorname{ar}(\mathrm{ARC}) \)。证明四边形\( \mathrm{ABCD} \) 和 \( \mathrm{DCPR} \) 都是梯形。

已知

$ar(\mathrm{DRC})=ar(\mathrm{DPC})$ 且 $ar(\mathrm{BDP})=\operatorname{ar}(\mathrm{ARC})$

要求

我们必须证明四边形\( \mathrm{ABCD} \) 和 \( \mathrm{DCPR} \) 都是梯形。

解答

$ar (\triangle DPC) = ar(\triangle DRC)$.....……(i)

$ar(\triangle BDP) = ar(\triangle ARC)$……...(ii)

用(ii)减去(i)，得到：

$ar(\triangle BDP) - ar(\triangle DPC) = ar(\triangle ARC) - ar(\triangle DRC)$

$ar(\triangle BDC) = ar(\triangle ADC)$

三角形$BDC$和$ADC$同底$DC$。

因此，

$DC \| AB$

这意味着，

$ABCD$是一个梯形。

同样地，

$ar(\triangle DRC) = ar(\triangle DPC)$

三角形$DRC$和$DPC$同底$DC$。

因此，

$RP \| DC$

这意味着，

$DCPR$是一个梯形。

证毕。

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更新于：2022年10月10日

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