在下图中，$AP \| BQ \| \mathrm{CR}$。证明$\operatorname{ar}(\mathrm{AQC})=\operatorname{ar}(\mathrm{PBR})$。

已知

$AP \| BQ \| \mathrm{CR}$。

要求

我们必须证明$\operatorname{ar}(\mathrm{AQC})=\operatorname{ar}(\mathrm{PBR})$。

解答

$\triangle BQC$ 和 $\triangle BQR$ 位于同底 $BQ$ 上，且在平行线 $BQ$ 和 $CR$ 之间。

因此，

$ar(\triangle BQR) = ar(\triangle BQC)$.....…(i)

$\triangle AQB$ 和 $\triangle PBQ$ 位于同底 $BQ$ 上，且在平行线 $BQ$ 和 $AP$ 之间。

因此，

$ar(\triangle ABQ) = ar(\triangle PBQ)$.....…(ii)

从给定图形中，我们得到，

$ar (\triangle PBR) = ar (\triangle PBQ) + ar (\triangle QBR)$......…..(iii)

$ar(\triangle AQC) = ar (\triangle AQB)+ ar (\triangle BQC)$.......…(iv)

将 (i) 和 (ii) 相加，我们得到，

$ar (\triangle BQC) + ar(\triangle AQB) = ar (\triangle QBR) + ar (\triangle PBQ)$

$ar(\triangle AQC) = ar(\triangle PBR)$              [根据 (iii) 和 (iv)]

证毕。

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更新于：2022年10月10日

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