在给定图形中，$ABC$是一个三角形，其中$\angle ABC > 90^o$，且$AD \perp CB$（延长线）。证明$AC^2 = AB^2 + BC^2 + 2BC \times BD$
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已知

$ABC$是一个三角形，其中$\angle ABC > 90^o$，且$AD \perp CB$（延长线）。

需要证明

我们需要证明$AC^2 = AB^2 + BC^2 + 2BC \times BD$

解答

在$\triangle \mathrm{ADB}$中，

$\angle \mathrm{ADB}=90^{\circ}$

这意味着，根据勾股定理，

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BD}^{2}$.........(i)

在$\triangle \mathrm{ADC}$中，$\angle \mathrm{ADC}=90^{\circ}$

这意味着，根据勾股定理，

$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{CD}^{2}$

$=\mathrm{AD}^{2}+(\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{BD})^{2}$       ($\mathrm{CD}=\mathrm{BC}+\mathrm{BD}$)

$=\mathrm{AD}^{2}+(\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{BD}^{2}+2 \mathrm{BC} \times \mathrm{BD})$

$=(\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BD}^{2})+\mathrm{BC}^2+2 \mathrm{BC} \times \mathrm{BD}$

$=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+2 \mathrm{BC} \times \mathrm{BD}$            [根据 (i)]

证毕。

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更新于: 2022年10月10日

90^o$ and $AD perp CB$ produced. To do:We have to prove that $AC^2 = AB^2 + BC^2 + 2BC times BD$Solution:In $triangle mathrm{ADB}$,$angle mathrm{ADB}=90^{circ}$This implies, by Pythagoras theorem,$mathrm{AB}^{2}=mathrm{AD}^{2}+mathrm{BD}^{2}$','sharer','toolbar=0,status=0,width=580,height=325');" href="javascript: void(0)" title="分享到 Facebook"> 90^o$ and $AD perp CB$ produced. To do:We have to prove that $AC^2 = AB^2 + BC^2 + 2BC times BD$Solution:In $triangle mathrm{ADB}$,$angle mathrm{ADB}=90^{circ}$This implies, by Pythagoras theorem,$mathrm{AB}^{2}=mathrm{AD}^{2}+mathrm{BD}^{2}$','sharer','toolbar=0,status=0,width=580,height=325');" href="javascript: void(0)" title="分享到 LinkedIn">

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