在给定图中，$AD$是三角形$ABC$的中线，$AM \perp BC$。证明：
(i) $\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BC} \times \mathrm{DM}+(\frac{\mathrm{BC}}{2})^{2}$
(ii) $\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AD}^{2}-\mathrm{BC} \times \mathrm{DM}+(\frac{\mathrm{BC}}{2})^2$
(iii) $\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{AB}^{2}=2 \mathrm{AD}^{2}+\frac{1}{2} \mathrm{BC}^{2}$
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已知

$AD$是三角形$ABC$的中线，$AM \perp BC$。

需要证明

我们需要证明

(i) $\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BC} \times \mathrm{DM}+(\frac{\mathrm{BC}}{2})^{2}$

(ii) $\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AD}^{2}-\mathrm{BC} \times \mathrm{DM}+(\frac{\mathrm{BC}}{2})^2$

(iii) $\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{AB}^{2}=2 \mathrm{AD}^{2}+\frac{1}{2} \mathrm{BC}^{2}$

解答

(i) 在$\triangle \mathrm{AMC}$中，

$\angle \mathrm{AMC}=90^{\circ}$

根据勾股定理，

$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AM}^{2}+\mathrm{MC}^{2}$

$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AM}^{2}+(\mathrm{MD}^{2}+\mathrm{DC}^{2})$         ($\mathrm{MC}=\mathrm{MD}+\mathrm{DC}$)

$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AM}^{2}+(\mathrm{MD}+\frac{1}{2} \mathrm{BC})^{2}$

$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AM}^{2}+\mathrm{MD}^{2}+(\frac{\mathrm{BC}}{2})^{2}+2 \mathrm{MD} \times \frac{\mathrm{BC}}{2}$

$\mathrm{AC}^{2}=(\mathrm{AM}^{2}+\mathrm{MD}^{2})+\mathrm{MD} \times \mathrm{BC}+(\frac{\mathrm{BC}}{2})^{2}$

$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{MD} \times \mathrm{BC}+(\frac{\mathrm{BC}}{2})^{2}$

证毕。

(ii) 在$\triangle \mathrm{AMB}$中，根据勾股定理，

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AM}^{2}+\mathrm{BM}^{2}$

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AM}^{2}+(\mathrm{BD}-\mathrm{MD})^{2}$

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AM}^{2}+(\frac{\mathrm{BC}}{2}-\mathrm{MD})^{2}$

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AM}^{2}+\mathrm{MD}^{2}+(\frac{\mathrm{BC}}{2})^{2}-\frac{2 \mathrm{BC}}{2} \times \mathrm{MD}$

$\mathrm{AB}^{2}=(\mathrm{AM}^{2}+\mathrm{MD}^{2})+(\frac{\mathrm{BC}}{2})^{2}-\mathrm{BC} \times \mathrm{MD}$

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AD}^{2}-\mathrm{BC} \times \mathrm{MD}+(\frac{\mathrm{BC}}{2})^{2}$

证毕。

(iii) 在$\triangle \mathrm{AMC}$中，

$\angle \mathrm{AMC}=90^{\circ}$

根据勾股定理，

$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AM}^{2}+\mathrm{MC}^{2}$

$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AM}^{2}+(\mathrm{MD}^{2}+\mathrm{DC}^{2})$         ($\mathrm{MC}=\mathrm{MD}+\mathrm{DC}$)

$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AM}^{2}+(\mathrm{MD}+\frac{1}{2} \mathrm{BC})^{2}$

$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AM}^{2}+\mathrm{MD}^{2}+(\frac{\mathrm{BC}}{2})^{2}+2 \mathrm{MD} \times \frac{\mathrm{BC}}{2}$

$\mathrm{AC}^{2}=(\mathrm{AM}^{2}+\mathrm{MD}^{2})+\mathrm{MD} \times \mathrm{BC}+(\frac{\mathrm{BC}}{2})^{2}$

$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{MD} \times \mathrm{BC}+(\frac{\mathrm{BC}}{2})^{2}$......(i)

在$\triangle \mathrm{AMB}$中，根据勾股定理，

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AM}^{2}+\mathrm{BM}^{2}$

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AM}^{2}+(\mathrm{BD}-\mathrm{MD})^{2}$

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AM}^{2}+(\frac{\mathrm{BC}}{2}-\mathrm{MD})^{2}$

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AM}^{2}+\mathrm{MD}^{2}+(\frac{\mathrm{BC}}{2})^{2}-\frac{2 \mathrm{BC}}{2} \times \mathrm{MD}$

$\mathrm{AB}^{2}=(\mathrm{AM}^{2}+\mathrm{MD}^{2})+(\frac{\mathrm{BC}}{2})^{2}-\mathrm{BC} \times \mathrm{MD}$

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AD}^{2}-\mathrm{BC} \times \mathrm{MD}+(\frac{\mathrm{BC}}{2})^{2}$.........(ii)

将公式(i)和(ii)相加，我们得到：

$AC^{2}+AB^{2}=2AD^{2}+\frac{2 BC^{2}}{4}$

$AC^{2}+AB^{2}=2AD^{2}+\frac{BC^{2}}{2}$

证毕。

教程点

更新于：2022年10月10日

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