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法律学在四边形\( \mathrm{ABCD} \)中，\( \angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{D}=90^{\circ} \)。证明\( \mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BC}^{2} \)
[提示：延长\( \mathrm{AB} \)和DC交于E]
已知
在四边形\( \mathrm{ABCD} \)中，\( \angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{D}=90^{\circ} \)。
要求
我们必须证明\( \mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BC}^{2} \)。
解答
延长$AB$和$CD$交于$E$。
连接$AC$和$BD$。
在三角形$AED$中，
$\angle A+\angle D =90^{\circ}$
因此，
$\angle A+\angle D+\angle E =180^{\circ}$
$\angle E=180^{\circ}-(\angle A+\angle D)$
$=90^{\circ}$
$A D^{2}=A E^{2}+D E^{2}$......(i)
在$\triangle B E C$中，根据勾股定理，
$B C^{2}=B E^{2}+E F^{2}$.........(ii)
将(i)和(ii)相加，得到，
$A D^{2}+B C^{2}=A E^{2}+D E^{2}+B E^{2}+C E^{2}$..........(iii)
在$\triangle A E C$中，根据勾股定理，
$A C^{2}=A E^{2}+C E^{2}$.....(iv)
在$\triangle B E D$中，根据勾股定理，
$B D^{2}=B E^{2}+D E^{2}$.......(v)
将(iv)和(v)相加，得到，
$A C^{2}+B D^{2}=A E^{2}+C E^{2}+B E^{2}+D E^{2}$.......(vi)
由(iii)和(vi)可得，
$A C^{2}+B D^{2}=A D^{2}+B C^{2}$
证毕。
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