在四边形$\mathrm{ABCD}$中，$\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{D}=90^{\circ}$。证明$\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$
[提示：延长$\mathrm{AB}$和DC交于E]

已知

在四边形$\mathrm{ABCD}$中，$\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{D}=90^{\circ}$。

要求

我们必须证明$\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$。

解答

延长$AB$和$CD$交于$E$。

连接$AC$和$BD$。

在三角形$AED$中，

$\angle A+\angle D =90^{\circ}$

因此，

$\angle A+\angle D+\angle E =180^{\circ}$

$\angle E=180^{\circ}-(\angle A+\angle D)$

$=90^{\circ}$

$A D^{2}=A E^{2}+D E^{2}$......(i)

在$\triangle B E C$中，根据勾股定理，

$B C^{2}=B E^{2}+E F^{2}$.........(ii)

将(i)和(ii)相加，得到，

$A D^{2}+B C^{2}=A E^{2}+D E^{2}+B E^{2}+C E^{2}$..........(iii)

在$\triangle A E C$中，根据勾股定理，

$A C^{2}=A E^{2}+C E^{2}$.....(iv)

在$\triangle B E D$中，根据勾股定理，

$B D^{2}=B E^{2}+D E^{2}$.......(v)

将(iv)和(v)相加，得到，

$A C^{2}+B D^{2}=A E^{2}+C E^{2}+B E^{2}+D E^{2}$.......(vi)

由(iii)和(vi)可得，

$A C^{2}+B D^{2}=A D^{2}+B C^{2}$

证毕。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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