在给定图形中，AD是三角形ABC的中线，AM⊥BC。证明：
AC² + AB² = 2AD² + ½BC²
"

已知

AD是三角形ABC的中线，AM⊥BC。

要求

我们必须证明AC² + AB² = 2AD² + ½BC²

解答

在△AMC中，

∠AMC = 90°

根据勾股定理，

AC² = AM² + MC²

AC² = AM² + (MD² + DC²) (MC = MD + DC)

AC² = AM² + (MD + ½BC)²

AC² = AM² + MD² + (BC/2)² + 2MD × BC/2

AC² = (AM² + MD²) + MD × BC + (BC/2)²

AC² = AD² + MD × BC + (BC/2)²......(i)

在△AMB中，根据勾股定理，

AB² = AM² + BM²

AB² = AM² + (BD - MD)²

AB² = AM² + (BC/2 - MD)²

AB² = AM² + MD² + (BC/2)² - 2BC/2 × MD

AB² = (AM² + MD²) + (BC/2)² - BC × MD

AB² = AD² - BC × MD + (BC/2)².........(ii)

将方程(i)和(ii)相加，我们得到：

AC² + AB² = 2AD² + 2BC²/4

AC² + AB² = 2AD² + BC²/2

证毕。

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更新于：2022年10月10日

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