在给定图形中，$ABC$是一个三角形，其中$\angle ABC = 90^o$，且$AD \perp CB$。证明$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2BC \times BD$
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已知

$ABC$是一个三角形，其中$\angle ABC = 90^o$，且$AD \perp CB$。

目标

我们需要证明$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2BC \times BD$

解答

在$\triangle ADB$中，

$\angle ADB=90^{\circ}$

根据勾股定理，

$\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BD}^{2}$.........(i)

在$\triangle ADC$中，$\angle ADC=90^{\circ}$

根据勾股定理，

$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{CD}^{2}$

$=\mathrm{AD}^{2}+(\mathrm{BC}-\mathrm{BD})^{2}$

$=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{BD}^{2}-2 \mathrm{BC} \times \mathrm{BD}$

$=(\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{BD}^{2})+\mathrm{BC}^2-2 \mathrm{BC} \times \mathrm{BD}$

$=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}-2 \mathrm{BC} \times \mathrm{BD}$            [由(i)]

证毕。

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更新于：2022年10月10日

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