在给定图形中，$D$是$\triangle ABC$斜边$AC$上的一点，$DM \perp BC$且$DN \perp AB$。证明
(i) $DM^2 = DN \times MC$
(ii) $DN^2 = DM \times AN$
"

(i) 在四边形$MBND$中，

$\angle M + \angle B + \angle N + \angle D = 360^{\circ}$

$90^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} + \angle D = 360^{\circ}$

$\angle D = 360^{\circ} - 270^{\circ}$

$= 90^{\circ}$

这意味着

四边形$MBND$是矩形。

因此

$\angle NDB = \angle MDB = 45^{\circ}$ (矩形的对角线平分角)

$\angle CDM = \angle ADN = 45^{\circ}$

在$\triangle CMD$和$\triangle BMD$中，

$\angle CMD = \angle BMD$

$\angle CDM = \angle BDM$

因此，根据AA相似性，

$\triangle CMD \sim \triangle BMD$

这意味着

$\frac{DM}{MB} = \frac{MC}{DM}$ (由比例中项定理)

$DM^2 = MB \times MC$

$= DN \times MC$ (因为 $MB = DN$)

证毕。

(ii) $\triangle CMD \sim \triangle BMD$

这意味着

$\frac{DM}{MB} = \frac{MC}{DM}$ (由比例中项定理)

$DM^2 = MB \times MC$

$= DN \times MC$ (因为 $MB = DN$)

在$\triangle DNB$和$\triangle AND$中，

$\angle DMB = \angle AND$

$\angle ADN = \angle BDN$

因此，根据AA相似性，

$\triangle DNB \sim \triangle AND$

这意味着

$\frac{DN}{AN} = \frac{NB}{DN}$ (由比例中项定理)

$DN^2 = AN \times NB$

$DN^2 = DM \times AN$ (因为 $NB = DM$)

证毕。