在给定图形中，$D$ 是 $∆ABC$ 的边 $BC$ 上的一点，使得 $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$。证明 $AD$ 是 $∆BAC$ 的角平分线。
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已知

$D$ 是 $∆ABC$ 的边 $BC$ 上的一点，使得 $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$。

要求

我们必须证明 $AD$ 是 $∆BAC$ 的角平分线。

解答

延长 $BA$ 到 $E$，使得 $AE=EC$，并连接 $EC$。

$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$

$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AE}}$             ($\mathrm{AC}=\mathrm{AE}$)

这意味着，

$DA \| CE$       （根据泰勒斯定理的逆定理）

因此，

$\angle 2 =\angle 3$........(i)     （内错角）

$\angle 1 =\angle 4$........(ii)     （同位角）

$\mathrm{AE}=\mathrm{AC}$

这意味着，

$\angle 3=\angle 4$.........(iii)

从 (i)、(ii) 和 (iii) 中，我们得到，

$\angle  1=\angle 2$

这意味着，

$\mathrm{AD}$ 是 $\angle \mathrm{BAC}$ 的角平分线。

证毕。

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更新于： 2022年10月10日

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